3.10　穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成

自適應(yīng)波束形成器對于模型誤差具有敏感性。為了降低自適應(yīng)波束形成器對模型誤差的敏感程度，在過去的幾十年中，眾多研究者在增強(qiáng)自適應(yīng)波束形成器的穩(wěn)健性方面做了許多工作[24,29,43,45,70,71]。在模型失配條件下，仍能自適應(yīng)地調(diào)整波束形成器權(quán)向量以保證良好輸出性能的一類波束形成器稱為穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器。對穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器的要求是，在可容許的模型失配情況下，穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器的性能不應(yīng)退化到傳統(tǒng)波束形成器的性能之下。

Cox等人提出了一種對角加載的方法[15,20]，能提高自適應(yīng)波束形成算法的穩(wěn)健性。但是，在較高信噪比（SNR）條件下，采用對角加載方法的自適應(yīng)波束形成器有著較為明顯的性能下降。Feldman和Chang等人提出了基于特征空間的方法[31,68]，是一種子空間方法。當(dāng)子空間的維數(shù)不確定或在低SNR條件下，基于特征空間的自適應(yīng)波束形成器有著嚴(yán)重的性能衰落。為了增強(qiáng)自適應(yīng)波束形成器在非平穩(wěn)環(huán)境下的穩(wěn)健性，有研究者提出了加寬自適應(yīng)波束零陷帶的思想，Gershman等人給出了獨(dú)立數(shù)據(jù)微分約束方法[69,70]，即用修正的協(xié)方差矩陣來代替Capon最小方差波束形成器中的采樣協(xié)方差矩陣。另外，Riba等人還給出了一種協(xié)方差矩陣錐形法[18,19]，用錐形協(xié)方差矩陣來代替采樣協(xié)方差矩陣。Bell等人提出了一種基于貝葉斯方法的自適應(yīng)波束形成算法[8]，此算法能在陣列接收信號和期望信號波達(dá)方向的先驗(yàn)信息之間實(shí)現(xiàn)一種平衡。基于貝葉斯方法的自適應(yīng)波束形成器，是一組離散候選波達(dá)方向上Capon最小方差波束形成器權(quán)值向量的線性加權(quán)，權(quán)系數(shù)為由陣列接收數(shù)據(jù)求得的各自波達(dá)方向上的后驗(yàn)概率值?；谪惾~斯方法的自適應(yīng)波束形成器對于期望信號波達(dá)方向的不確定具有較好的穩(wěn)健性，而當(dāng)其他導(dǎo)致模型失配的因素占主導(dǎo)時(shí)，便會遭受較為嚴(yán)重的性能衰落。Vorobyov和Lorenz等人獨(dú)立提出了一種基于最壞情況性能優(yōu)化的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法[3,16,67]。此方法在期望信號的導(dǎo)向向量存在誤差時(shí)，引入不等式約束，保證期望信號所有可能的導(dǎo)向向量都能無衰減地通過自適應(yīng)波束形成器。這種基于最壞情況性能優(yōu)化的自適應(yīng)波束形成器權(quán)向量，有著和對角加載方法一樣的表示形式，因而可被看成對角加載技術(shù)的一種。考慮到基于最壞情況性能優(yōu)化的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器設(shè)計(jì)的保守性，Vorobyov和Rong等人提出了一種基于概率約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法[66]。此方法只需要保證那些發(fā)生概率充分大的導(dǎo)向向量能無衰減地通過自適應(yīng)波束形成器，而不是去滿足所有可能的導(dǎo)向向量。近年來，還有一類盲自適應(yīng)算法，利用接收信號的某些特征，如恒模特性、循環(huán)平穩(wěn)性以及高階統(tǒng)計(jì)特性等，就可實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)波束形成。由于盲自適應(yīng)波束形成算法通常對陣列模型誤差有著很強(qiáng)的穩(wěn)健性，因而成為陣列信號處理中的一個(gè)研究熱點(diǎn)。

3.10.1　對角加載方法

在眾多穩(wěn)健的自適應(yīng)波束形成方法中，對角加載是一種最常見的方法。此方法通過對Capon最小方差問題進(jìn)行正則化處理來實(shí)現(xiàn)，即通過對優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)加上一個(gè)二次型懲罰項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)。對角加載的Capon最小方差問題，可表示為

其中，是采樣協(xié)方差矩陣，ξ是懲罰權(quán)值。采用Lagrange乘子法求解優(yōu)化問題，可以得到對角加載采樣矩陣求逆（DL-SMI）形式的MVDR波束形成權(quán)值向量

從式（3-98）可知，優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)增加一個(gè)二次懲罰項(xiàng)，就等價(jià)于波束形成器權(quán)值向量的采樣協(xié)方差矩陣加上一個(gè)對角矩陣ξI。因此，懲罰權(quán)值ξ也被稱為對角加載因子（Diagonal Loading Factor）。這就意味著，對角加載可看成在采樣協(xié)方差矩陣的主對角線上人為地加入一些白噪聲，這保證了對角加載矩陣總是可逆的，而不管采樣協(xié)方差矩陣是否奇異。在模型失配的情況下，采用對角加載的方法能夠提高自適應(yīng)波束形成器的輸出性能。雖然對角加載的方法有著實(shí)現(xiàn)簡單、適用面廣的特點(diǎn)，但是，此方法也存在一個(gè)缺點(diǎn)，即沒有給出一個(gè)選取對角加載因子ξ的嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)。

3.10.2　基于特征空間的方法

基于特征空間的自適應(yīng)波束形成算法，對于由任何原因?qū)е碌膶?dǎo)向向量不確定都具有很好的穩(wěn)健性。此方法的關(guān)鍵是使用期望信號導(dǎo)向向量在信號-干擾子空間上的投影，而不是直接使用期望信號的導(dǎo)向向量。對采樣協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解：

其中，矩陣包含了中信號-干擾子空間的J+1個(gè)特征向量，對角矩陣的對角線元素為其對應(yīng)的特征值。同樣地，矩陣包含了中噪聲子空間的M-J-1個(gè)特征向量，對角矩陣的對角線元素為其對應(yīng)的特征值。這里，J是干擾源的數(shù)目，?？捎?img alt="" class="zhangyue-img-h13" src="https://epubservercos.yuewen.com/4102F9/21440186201518106/epubprivate/OEBPS/Images/37342-00-102-16.jpg?sign=1751674716-6mjyvGBBOVTEPoghEGrLPtsEuglohayb-0-a06dc6e068f38003d05a04bb0d7a39d1">最小特征值的重?cái)?shù)估計(jì)得出?；谔卣骺臻g的自適應(yīng)波束形成器權(quán)值向量為

其中

為信號-干擾子空間的投影導(dǎo)向向量。將式（3-112）代入式（3-111）中，得到基于特征空間的自適應(yīng)波束形成器權(quán)向量

在信號-干擾子空間滿足低秩條件（如點(diǎn)源信號的秩為1）以及干擾數(shù)確知的條件下，基于特征空間的波束形成方法對于由任意原因?qū)е碌膶?dǎo)向向量不確定都有著極好的穩(wěn)健性。但是，當(dāng)信號-干擾子空間的低秩條件不滿足或子空間的維數(shù)不確定時(shí)，如存在非相干散射（空間散射）的干擾源或移動的干擾時(shí)，基于特征空間方法的自適應(yīng)波束形成器將有嚴(yán)重的性能衰落。此外，即便上述約束條件都成立，此方法也只適用于高SNR的環(huán)境。因?yàn)樵诘蚐NR條件下，信號-干擾子空間與噪聲子空間之間存在的頻繁交換使得子空間之間的正交特性不能被維持，從而導(dǎo)致自適應(yīng)波束形成器遭受嚴(yán)重的性能衰落。這就使得基于特征空間的自適應(yīng)波束形成算法很難在具有如下特征的實(shí)際系統(tǒng)中得到應(yīng)用，如較低的SNR，信號-干擾子空間的維數(shù)不確定，由于信號源散射、信道衰落等原因?qū)е碌男盘?干擾子空間具有較高的維數(shù)，以及接收數(shù)據(jù)不具有平穩(wěn)特性等。

3.10.3　貝葉斯方法

Bell等人根據(jù)貝葉斯方法提出了一種自適應(yīng)波束形成算法，能在陣列接收信號和波達(dá)方向的先驗(yàn)信息之間實(shí)現(xiàn)一種平衡。在低SNR條件下，波束形成器更依賴于波達(dá)方向的先驗(yàn)信息，而在高SNR條件下，波束形成器更依賴于陣列的接收信號。

由貝葉斯方法，期望信號的波達(dá)方向可以被看成一個(gè)定義在L個(gè)候選波達(dá)方向組成的集合Θ={θ1,…,θL}中的離散隨機(jī)變量，先驗(yàn)概率的大小表示波達(dá)方向的不確定程度。由MMSE準(zhǔn)則，可以得到基于貝葉斯方法的自適應(yīng)波束形成器權(quán)值向量

其中，p(θi|X)是給定K拍采樣的陣列觀測數(shù)據(jù)X時(shí)，候選波達(dá)方向θi的后驗(yàn)概率值；ω(θi)是指向候選波達(dá)方向θi的波束形成器權(quán)值向量，可由DL-SMI形式的MVDR波束形成器權(quán)值向量來表示。這樣，基于貝葉斯方法的自適應(yīng)波束形成器是各候選波達(dá)方向上自適應(yīng)波束形成器權(quán)值向量的線性加權(quán)，權(quán)系數(shù)為根據(jù)陣列觀測數(shù)據(jù)X計(jì)算得到的各候選波達(dá)方向上的后驗(yàn)概率值。對于期望信號波達(dá)方向的不確定，基于貝葉斯方法的自適應(yīng)波束成形方法具有很好的穩(wěn)健性。但是，當(dāng)期望信號實(shí)際的波達(dá)方向不在候選波達(dá)方向集合Θ的覆蓋范圍內(nèi)時(shí)，自適應(yīng)波束形成算法所依賴的貝葉斯模型失效，自適應(yīng)波束形成器的輸出性能將有一定的衰落。此外，當(dāng)其他導(dǎo)致導(dǎo)向向量失配的因素占主導(dǎo)時(shí)，基于貝葉斯方法的自適應(yīng)波束形成器不再具有很好的穩(wěn)健性。

3.10.4　基于最壞情況性能優(yōu)化的方法

基于最壞情況性能優(yōu)化方法的設(shè)計(jì)目標(biāo)是，在期望信號所有可能的導(dǎo)向向量都能無衰減地通過自適應(yīng)波束形成器的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)干擾-噪聲的輸出功率最小化。這一問題可表示為

其中，a是期望信號假定的導(dǎo)向向量，δ表示期望信號導(dǎo)向向量的誤差量，a+δ即實(shí)際的導(dǎo)向向量，ε>0表示導(dǎo)向向量誤差量δ的2-范數(shù)的上確界。與Capon最小方差法只需要保證期望信號無畸變地通過自適應(yīng)波束形成器不同的是，基于最壞情況性能優(yōu)化的波束形成方法對于所有與假定的導(dǎo)向向量距離小于某一常數(shù)的導(dǎo)向向量都能保證無衰減地通過自適應(yīng)波束形成器，這也就等價(jià)于最壞情況下的導(dǎo)向向量都能無衰減地通過。將優(yōu)化問題式（3-105）中的非線性非凸約束條件轉(zhuǎn)換成等式約束條件，采用Lagrange乘子法求解等價(jià)的等式約束優(yōu)化問題，可以得到基于最壞情況性能優(yōu)化的自適應(yīng)波束形成器權(quán)值向量

其中，λ≥0，為Lagrange乘子，可通過將波束形成器權(quán)值向量式（3-106）代入等式約束方程后采用Newton法等迭代方法求得。因此，從本質(zhì)上講，基于最壞情況性能優(yōu)化的自適應(yīng)波束形成方法式（3-106）可歸為一類對角加載的技術(shù)。

相比以前的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法，基于最壞情況性能優(yōu)化的自適應(yīng)波束形成方法是建立在清晰的理論框架之上的，因而有著更好的穩(wěn)健性。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，導(dǎo)向向量誤差量δ的2-范數(shù)的上確界ε通常是未知的。選擇過大的ε，可能使設(shè)計(jì)的自適應(yīng)波束形成器過于保守，而選擇過小的ε，可能使一些可能發(fā)生的導(dǎo)向向量沒有被考慮進(jìn)來。

3.10.5　基于概率約束的方法

在實(shí)際應(yīng)用中，最壞情況發(fā)生的概率是非常小的。因此，基于最壞情況性能優(yōu)化方法設(shè)計(jì)的自適應(yīng)波束形成器式（3-108）是非常保守的。為了使波束形成器的設(shè)計(jì)更為靈活，Vorobyov等人提出了一種基于概率約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法，其主要思想是僅讓那些發(fā)生概率充分大的導(dǎo)向向量無衰減地通過自適應(yīng)波束形成器，而不用去滿足所有可能發(fā)生的導(dǎo)向向量[66]。這一問題可表示為

其中，Pr{·}表示的是概率算子，概率值p是由系統(tǒng)指定的自適應(yīng)波束形成器設(shè)計(jì)參數(shù)。

當(dāng)導(dǎo)向向量誤差分布未知時(shí)，基于概率約束的波束形成問題退化成一個(gè)基于最壞情況性能優(yōu)化的波束形成問題；而當(dāng)導(dǎo)向向量的誤差服從零均值復(fù)高斯分布時(shí)，基于概率約束的波束形成問題（3-107）可以表示為

其中，Cδ表示導(dǎo)向向量誤差δ的二階統(tǒng)計(jì)，erf-1(·)是誤差函數(shù)

的逆函數(shù)。當(dāng)有和成立時(shí)，基于概率約束的波束形成問題就等價(jià)于基于最壞情況性能優(yōu)化的波束形成問題，這可以方便波束形成器的設(shè)計(jì)。當(dāng)導(dǎo)向向量的誤差服從零均值復(fù)高斯分布時(shí)，基于概率約束的自適應(yīng)波束形成器有著比基于最壞情況性能優(yōu)化的自適應(yīng)波束形成器更好的穩(wěn)健性。