3.6　過載情況下的自適應波束形成算法

由于傳統的波束形成算法要求信源數小于或等于陣元數，如果信源數大于陣元數（過載的情況下），一般算法性能就會下降。本節研究了一種可適用于過載情況的波束形成算法——近似最小方差波束形成算法[63]。

3.6.1　信號模型

當K個信號源入射到M元天線陣時，陣列信號的輸出一般可以表示為如下的矩陣形式：

式中，，，，為M×K維矩陣，為陣列的導向向量，是第m個陣元對方向的入射信號的響應。波束形成器的輸出為

式中，表示陣列信號的加權向量。

3.6.2　近似最小方差法波束形成算法

由于M元天線陣的自由度為M-1，在限定主瓣方向的增益為1后，只能形成M-2個零點。因此，當干擾源的數目小于或等于M-2時，上述的最小方差法波束形成器能夠去除所有的干擾信號，得到可觀的載干比；當入射的信號數大于M-2時，上述方法只能得到一個最小方差意義下的最優解。為了考察當入射信號無限增多時權系數的最優解，做如下假設：

（1）入射信號角度間相互獨立且在[0，2π]區間內均勻分布。

（2）入射信號幅度間相互獨立且與入射角度無關，入射信號的功率有限。

定義波束形成器的輸出功率對信號總功率的歸一化值為

式中，pi為第i個入射信號的功率；E{P}為為輸入信號功率的平均值；f(θ)為方向圖函數，可表示為

在上述假定條件下，依據Chebyshev大數定律，概率收斂于，其中，P表示干擾功率的隨機變量，θ表示干擾源入射角度的隨機變量，它服從[0～2π]的均勻分布，則

將式（3-60）代入式（3-61），得

式（3-63）是由陣列幾何結構決定的M×M維矩陣。由于它和陣列響應協方差矩陣R有相似的形式，而與輸入陣列的信號無關，故將其命名為陣列固有的協方差矩陣。

近似最小方差法的優化準則為

同樣，由Lagrange乘子法求出w的優化解：

于是，近似最小方差法（AMV）波束形成算法可以表述為：先由陣列的幾何結構求得，然后依據已知的信號來波方向θ和式（3-64）得到的權值優化解來形成波束。

由上述推導可以看出，當入射干擾數無限增多時，AMV波束形成器就是最小方差意義下的最優解。雖然在實際中不可能存在無窮多個干擾信號，但在CDMA體制下，同一小區容納的用戶數較多，且每個用戶都可能產生多個多徑信號，多址干擾源的個數將大于陣元個數，這時AMV方法近似于LCMV方法。

由于AMV方法與數據無關，只要知道信號的來波方向，就能從閉式求解出陣列權值，不需要估計陣列響應的協方差矩陣，因此AMV方法比LCMV方法的運算量小。

當在旁瓣方向上有相干信號入射時，LCMV方法以提高相干源入射方向的旁瓣電平來保證陣列的輸出功率最小，這時被接收信號的一部分功率被其相干源抵消，因而不能保證載相干比最大。從式（3-59）可看出，AMV方法在空間頻率域上定義陣列輸出功率，這和旁瓣入射的相干源一樣，被認為是干擾信號，因此AMV方法不存在相干源的信號相消問題。

在上述推導過程中，并未指定陣列的幾何結構，因此AMV方法適用于任意形式陣列的情況。下面以均勻線陣為例，給出陣列固有的協方差矩陣的求解方法。

均勻線陣的導向向量為，式中，d為陣元間距、λ為載波波長。

根據式（3-63），均勻線陣的陣列協方差矩陣的第n行m列元素為

AMV方法對信噪比具有穩健性，其算法只與陣列天線結構有關，與入射信號數量等無關，這極大簡化了算法的計算過程。