3.5　基于投影和斜投影的波束形成算法

3.5.1　基于投影的波束形成算法

1. EBS波束形成算法

假設(shè)有l(wèi)個(gè)期望信號(hào)，J個(gè)干擾，對(duì)有限次快拍下的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解：

式中，是相應(yīng)的M個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為，記

Us的列向量張成信號(hào)子空間，而Un的列向量張成噪聲子空間。在SMI算法中，自適應(yīng)權(quán)為

上式表明權(quán)向量由信號(hào)子空間分量和噪聲子空間分量構(gòu)成。在理想情況下，期望信號(hào)位于信號(hào)子空間，有，因此，權(quán)向量僅為信號(hào)子空間的分量，噪聲子空間的分量為零。ESB算法就基于這種原理，摒棄權(quán)向量在噪聲子空間中的分量而僅保留在信號(hào)子空間中的分量，成為基于特征結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)波束形成算法或投影算法，即

當(dāng)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中含有較強(qiáng)的期望信號(hào)時(shí)，該算法較為有效。當(dāng)期望信號(hào)功率較小時(shí)，直接摒棄權(quán)向量在噪聲子空間中的分量將會(huì)有較大的誤差。一種極端情況是，中不含期望信號(hào)，即在理想情況下，不成立。權(quán)向量在噪聲子空間的分量不為零，此時(shí)不是最優(yōu)權(quán)了，它將導(dǎo)致輸出SINR性能下降。另外，由于噪聲子空間的擾動(dòng)，使自適應(yīng)方向圖發(fā)生畸變。所以ESB算法不適用于小期望信號(hào)。

2. EBS改進(jìn)算法（IESB）

（1）進(jìn)行特征分解后，特征值從大到小排列，計(jì)算第J+1和J+2兩個(gè)特征值之比，當(dāng)大于某個(gè)門限值時(shí)，則構(gòu)成

否則

（2）對(duì)進(jìn)行奇異值分解

（3）將SMI方法求得的權(quán)向量向的大特征值對(duì)應(yīng)的左奇異向量列空間投影，即

由于引入了期望信號(hào)導(dǎo)向向量，并且在期望信號(hào)功率與噪聲功率相當(dāng)或更弱時(shí)，去除了干擾較大的特征向量，該方法能在輸入信號(hào)較大時(shí)保持基于特征結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)波束形成算法性能，又能在期望信號(hào)較小（甚至為零）時(shí)具有較好的波束保形能力。但是，該方法計(jì)算量較大，需要進(jìn)行一次特征分解和一次奇異值分解。

3.5.2　基于斜投影的波束形成算法

采樣矩陣求逆（SMI）算法是最常用的自適應(yīng)波束形成算法，該算法具有較快收斂速度。但是SMI在少快拍數(shù)、高信噪比和相干信源情況下會(huì)導(dǎo)致副瓣電平升高，主瓣偏移，波束畸變，輸出信干噪比（SINR）下降。文獻(xiàn)[20，21]提出了對(duì)角線加載的波束形成算法來(lái)抑制方向圖畸變，分析了加載量對(duì)自適應(yīng)陣列信干噪比的影響。對(duì)角線加載技術(shù)能減弱小特征值對(duì)應(yīng)的噪聲波束的影響，改善了方向圖畸變。但是加載量的確定一直以來(lái)是一個(gè)比較困難的問(wèn)題，至今仍沒(méi)有很好地解決，從而限制了對(duì)角加載技術(shù)的實(shí)際應(yīng)用。文獻(xiàn)[25，26]中利用投影算子改善了波束形成的穩(wěn)健性，但投影算法在相干信源情況下性能下降，而且投影算子需要知道期望信號(hào)和干擾信號(hào)的方向向量，這在實(shí)際系統(tǒng)中很難滿足。斜投影算子是投影算子擴(kuò)展，文獻(xiàn)[27，28]中將斜投影成功應(yīng)用于單輸入多輸出系統(tǒng)的盲辨識(shí)，文獻(xiàn)[29]中將斜投影應(yīng)用到DOA估計(jì)，文獻(xiàn)[30]中將斜投影應(yīng)用到卷積混合信號(hào)的盲分離。文中將研究基于斜投影的波束形成算法，對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行斜投影可有效消除干擾，進(jìn)而提高波束形成的穩(wěn)健性，而且該算法在少快拍數(shù)和相干信源情況下仍具有較好的波束形成性能。

1. 斜投影基礎(chǔ)原理

矩陣（F≤N），矩陣A的投影矩陣為；為矩陣A的正交投影矩陣。斜投影是正交投影擴(kuò)展，斜投影算子為沿著與子空間Rang(B)平行的方向，到子空間Rang(A)上的投影算子：

其中，EAB是方陣，且為非對(duì)稱矩陣，它有以下特性：EABA=A；EABB=O。

定義A=[H,S]，則

矩陣A的投影矩陣PA

可見(jiàn)，矩陣A的投影矩陣PA可表示為兩個(gè)斜投影矩陣之和。

2. 陣列信號(hào)的模型

假設(shè)有K個(gè)信源，信源i的信號(hào)為期望信號(hào)，考慮M元均勻線陣接收信號(hào)可表示為

其中，是信源k的發(fā)射信號(hào)；是信源k的波達(dá)方向；是信源i的歸一化方向向量；n(t)為均值為0，方差是的白噪聲；K為信源數(shù)。方向矩陣；信源矩陣；矩陣包含K-1個(gè)信源方向向量，為干擾信源的方向矩陣；包含K-1個(gè)信源信號(hào)，為干擾信源矩陣。

接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣表示為

其中，是期望信號(hào)的功率，是干擾源信源協(xié)方差矩陣。

對(duì)接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，有

其中，US是信號(hào)子空間，UN是噪聲子空間。

定義矩陣RA：

3. 基于斜投影的波束形成算法

對(duì)陣列接收信號(hào)進(jìn)行斜投影，則

其中，矩陣是沿著與子空間平行的方向，到子空間上的投影算子。

斜投影后對(duì)信號(hào)進(jìn)行空域匹配濾波，得到

斜投影矩陣需要知道期望信號(hào)和所有干擾源方向向量，在實(shí)際的系統(tǒng)中很難滿足。

引理3.5.1　斜投影矩陣，也可寫成

其中，是偽逆矩陣，

斜投影的波束形成算法的具體步驟如下。

步驟1：計(jì)算接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣，并進(jìn)行特征值分解，根據(jù)式（3-53）計(jì)算出，進(jìn)而根據(jù)公式（3-56）計(jì)算出斜投影矩陣

步驟2：對(duì)陣列接收到的信號(hào)進(jìn)行斜投影，如式（3-54）所示。

步驟3：對(duì)斜投影后的信號(hào)進(jìn)行空域匹配濾波，如式（3-55）所示。這樣就實(shí)現(xiàn)了斜投影的波束形成。

總之，基于斜投影的波束形成算法在不同SNR情況下皆具有較好的波束形成性能，且在少快拍數(shù)情況下仍具有較好的波束形成性能。而且，該算法只需要期望信號(hào)的方向和接收信號(hào)，是一種穩(wěn)健且性能優(yōu)越的波束形成算法。