3.3　自適應(yīng)波束形成算法

自適應(yīng)研究的重點一直是自適應(yīng)算法，經(jīng)典的自適應(yīng)波束形成算法大致可分為閉環(huán)算法（或者反饋控制方法）和開環(huán)算法（也稱直接求解方法）。一般而言，閉環(huán)算法比開環(huán)算法要簡單，實現(xiàn)方便，但其收斂速率受到系統(tǒng)穩(wěn)定性要求的限制。閉環(huán)算法包括最小均方（LMS）算法、差分最陡下降（DSD）算法、加速梯度（AG）算法及這3種算法的變形。近二十多年來，人們把興趣更多地集中在開環(huán)算法的研究上。開環(huán)算法是一種直接求解方法，不存在收斂問題，可提供更快的暫態(tài)響應(yīng)性能，但同時也受到處理精度和陣列協(xié)方差矩陣求逆運算量的控制。事實上，開環(huán)算法可以認(rèn)為是實現(xiàn)自適應(yīng)處理的最佳途徑，目前被廣泛使用，但開環(huán)算法運算量較大。鑒于此問題，人們想到了采用自適應(yīng)處理技術(shù)，它減輕了自適應(yīng)算法的實時計算負(fù)荷，并且能產(chǎn)生較快的自適應(yīng)響應(yīng)。

3.3.1　自適應(yīng)波束形成的最佳權(quán)向量

傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成的結(jié)構(gòu)如圖3-2所示，波束形成的權(quán)重通過自適應(yīng)信號處理獲得。假定陣元m的輸出為連續(xù)基帶（復(fù)包絡(luò)）信號xm(t)，經(jīng)過A/D轉(zhuǎn)換后，變成離散基帶信號xm(k)，m=0,1,…,M-1，并以陣元0為參考點。另外，假定共有Q個信源存在，wq(k)表示在時刻k對第q個信號解調(diào)所加的權(quán)向量，其中q=1,…,Q。權(quán)向量用某種準(zhǔn)則確定，以使解調(diào)出來的第q個信號的質(zhì)量在某種意義下最優(yōu)。

在最佳波束形成中，權(quán)向量通過代價函數(shù)的最小化確定。在典型情況下，這種代價函數(shù)越小，陣列輸出信號的質(zhì)量也越好，因此當(dāng)代價函數(shù)最小時，自適應(yīng)陣列輸出信號的質(zhì)量最好。

代價函數(shù)有兩種最常用的形式，它們分別為在通信系統(tǒng)中廣泛使用的著名方法——最小均方誤差（MMSE）方法和最小二乘（LS）方法。

1. MMSE方法

MMSE方法是在波形估計、信號檢測和系統(tǒng)參數(shù)辨識等信號處理中廣泛使用的一種優(yōu)化方法。顧名思義，MMSE方法就是使估計誤差y(k)-dq(k)的均方值最小化，即代價函數(shù)取

式中，。代價函數(shù)為第q個信號的陣列輸出與該信號在時刻k的期望形式之間的平方誤差的數(shù)學(xué)期望值。上式可以展開為

由上式可以求得

式中，Rx是數(shù)據(jù)向量x(k)的自相關(guān)矩陣，即

而rxd是數(shù)據(jù)向量x(k)與期望信號dq(k)的互相關(guān)向量，即

令，則得

這就是MMSE方法下的最佳陣列權(quán)向量，它是Wiener濾波理論中最佳濾波器的標(biāo)準(zhǔn)形式。

2. LS方法

在MMSE方法中，代價函數(shù)定義為陣列輸出與第q個用戶期望響應(yīng)之間誤差平方的總體平均（均方差），實際數(shù)據(jù)向量總是有限長的，如果直接定義代價函數(shù)為其誤差平方，則得到LS方法。

假定有N個快拍的數(shù)據(jù)向量x(k)，k=1,…,N，定義代價函數(shù)：

則求出其梯度為

令梯度等于零，易得

這就是最小二乘意義下針對第q個用戶的波束形成器的最佳權(quán)向量，式中X和dq分別是數(shù)據(jù)向量和期望信號向量。其值為

上面介紹的MMSE方法和LS方法的核心問題是，在對第q個用戶進行波束形成時，需要在接收端使用該用戶的期望響應(yīng)。為了提供這一期望響應(yīng)，就必須周期性地發(fā)送對發(fā)射機和接收機二者皆為已知的訓(xùn)練序列。訓(xùn)練序列占用了通信系統(tǒng)寶貴的頻譜資源，這是MMSE方法和LS方法共同的主要缺陷。一種可以代替訓(xùn)練序列的方法是采用決策指向更新對期望響應(yīng)進行學(xué)習(xí)。在決策指向更新中，期望信號樣本的估計根據(jù)陣列輸出和信號解調(diào)器的輸出重構(gòu)。由于期望信號是在接收端產(chǎn)生的，不需要發(fā)射數(shù)據(jù)的知識，因此不需要訓(xùn)練序列。

3.3.2　權(quán)向量更新的自適應(yīng)算法

上面介紹的自適應(yīng)陣列的最佳權(quán)向量的確定需要求解方程，一般來說，并不希望直接求解方程，其理由如下。

（1）由于移動用戶環(huán)境是時變的，所以權(quán)向量的解必須能及時更新。

（2）由于估計最佳解需要的數(shù)據(jù)是含噪聲的，所以希望使用一種更新技術(shù)，它能夠利用已求出的權(quán)向量求平滑最佳響應(yīng)的估計，以減小噪聲的影響。

因此，希望使用自適應(yīng)算法周期更新權(quán)向量。

自適應(yīng)算法既可采用迭代模式，也可采用分塊模式。所謂迭代模式，就是在每個迭代步驟，n時刻的權(quán)向量加上一個校正量后，即組成n+1時刻的權(quán)向量，用它逼近最佳權(quán)向量。在分塊模式中，權(quán)向量不是在每個時刻都更新的，而是每隔一定時間周期才更新；由于一定時間周期對應(yīng)于一個數(shù)據(jù)塊而不是一個數(shù)據(jù)點，所以這種更新又稱為分塊更新。

為了使陣列系統(tǒng)能自適應(yīng)工作，就必須將上節(jié)介紹的方法歸結(jié)為自適應(yīng)算法。這里以MMSE方法為例，說明如何把它變成一種自適應(yīng)算法。

考慮隨機梯度算法，其更新權(quán)向量的一般公式為

式中，，μ稱為收斂因子，它控制自適應(yīng)算法的收斂速度，則

上式中的數(shù)學(xué)期望用各自的瞬時值代替，即得k時刻的梯度估計值

式中，，代表陣列輸出與第q個用戶期望響應(yīng)之間的瞬時誤差。容易證明，梯度估計是真實梯度的無偏估計。

將式（3-31）代入式（3-29），即得到熟悉的LMS自適應(yīng)算法：

MMSE方法可以用LMS算法實現(xiàn)，而LS方法的自適應(yīng)算法為遞推最小二乘（RLS）算法。表3-2為3種自適應(yīng)波束形成算法的比較，它們是LMS算法，RLS算法和Bussgang算法。從表3-2中可以看出，LMS和RLS算法需要使用訓(xùn)練序列，但Bussgang算法不需要訓(xùn)練序列。除了Bussgang算法，還有一些自適應(yīng)波束形成算法也不需要訓(xùn)練序列。這些不需要訓(xùn)練序列的方法習(xí)慣上統(tǒng)稱盲自適應(yīng)波束形成算法。

注意，在Bussgang算法中，g[y(k)]是一個非線性的估計子，它對解調(diào)器輸出的信號y(k)作用，并用g[y(k)]代替期望信號d(k)，然后產(chǎn)生誤差函數(shù)e(k)=d(k)-y(k)。

3.3.3　基于變換域的自適應(yīng)波束形成算法

LMS的優(yōu)點是結(jié)構(gòu)簡單，算法復(fù)雜度低，易于實現(xiàn)，穩(wěn)定性高；缺點主要是收斂速度較慢，因而其應(yīng)用也受到一定的限制。分析表明，影響LMS自適應(yīng)波束形成器收斂速度的主要因素是輸入信號的最大、最小特征值之比，該值越小收斂就越快[33]。為了提高收斂速度和計算性能，人們開始研究變換域的自適應(yīng)濾波方法。文獻[34-36]中研究了頻域的波束形成技術(shù)，文獻[37]中研究了基于余弦變換的波束形成技術(shù)，文獻[39]中改進了頻域自適應(yīng)波束形成算法，文獻[40]中提出了小波域自適應(yīng)波束形成算法。

基于頻域的LMS算法結(jié)構(gòu)如圖3-3所示，該算法先對輸入信號進行FFT變換，再通過LMS算法在頻域上進行波束形成。根據(jù)前面的分析可以知道：通過對陣列天線接收到的信號x(n)進行FFT，經(jīng)過FFT后的r(n)，自相關(guān)性下降，呈帶狀分布，這樣LMS算法收斂速度就很快。當(dāng)存在相干信源，假設(shè)它們DOA不同，相干信源在時域相干，但在頻域是不相干的，所以基于頻域的LMS算法對相干信源具有穩(wěn)健性。

FFT變換后的矩陣Rrr的最大、最小特征值之比小于Rxx的最大、最小特征值之比。所以，自適應(yīng)波束形成算法的收斂速度得到了提高?；陬l域的LMS算法先對輸入信號進行頻域變換，然后用LMS算法實現(xiàn)在頻域的自適應(yīng)波束形成。與最小均方（LMS）自適應(yīng)波束形成算法相比，增加了FFT的計算量。但頻域變換都有快速算法，計算量不大。設(shè)陣列中傳感器數(shù)量為M，LMS算法每迭代一次的復(fù)數(shù)加法次數(shù)為2M，復(fù)數(shù)乘法的次數(shù)約為2M+1。FFT中復(fù)數(shù)加法次數(shù)為Mlog2M，復(fù)數(shù)乘法復(fù)雜度為M/2×log2M。當(dāng)M=32時，F(xiàn)FT只相當(dāng)于數(shù)次LMS迭代，而且FFT已經(jīng)有現(xiàn)成硬件，實現(xiàn)容易。經(jīng)FFT變換后信號自相關(guān)性下降，之后的LMS算法收斂速度大大提高?？傮w而言，基于頻域的LMS算法的計算量比LMS算法的計算量下降了很多。

文獻[39]研究的降維的頻域自適應(yīng)波束形成算法結(jié)構(gòu)如圖3-4所示，該算法先對接收信號進行FFT，然后進行帶通濾波，最后通過LMS算法實現(xiàn)了頻域的自適應(yīng)波束形成。

文獻[40]中提出了小波域的自適應(yīng)波束形成算法。小波域的波束形成算法結(jié)構(gòu)如圖3-5所示，先進行多分辨率分解，再使用LMS算法。根據(jù)前面的分析，不同的DOA對應(yīng)于不同的空間分辨率，通過對陣列天線接收到的信號x(n)進行多分辨率分解，經(jīng)過小波變換后的r(n)是稀疏矩陣，所以LMS算法收斂速度就很快。