3.2　常用的波束形成算法

3.2.1　波束形成原理

利用陣元直接相干疊加而獲得輸出，其缺點在于只有在垂直于陣列平面方向的入射波在陣列輸出端才能同相疊加，以致形成方向圖中的主瓣的極大值。反過來說，如果陣列可以圍繞它的中心軸旋轉(zhuǎn)，那么當(dāng)陣列輸出最大時，空間波必然由垂直于陣列平面的方向入射而來。然而，有些天線陣列是很龐大、不能轉(zhuǎn)動的。因此，設(shè)法設(shè)計一種相控陣天線法（或稱常規(guī)波束形成法），這是最早出現(xiàn)的陣列信號處理方法。在這種方法中，陣列輸出選取一個適當(dāng)?shù)募訖?quán)向量以補(bǔ)償各個陣元的傳播延時，從而使在某一期望方向上陣列輸出可以同相疊加，進(jìn)而使陣列在該方向上產(chǎn)生一個主瓣波束，而對其他方向上產(chǎn)生較小的響應(yīng)，用這種方法對整個空間進(jìn)行波束掃描就可確定空中待測信號的方位。

以一維M元等距線陣為例，波束形成算法結(jié)構(gòu)圖如圖3-1所示，設(shè)空間信號為窄帶信號，每個通道用一個復(fù)加權(quán)系數(shù)來調(diào)整該通道的幅度和相位。

這時陣列的輸出可表示為

如果采用向量來表示各陣元輸出及加權(quán)系數(shù)：

那么，陣列的輸出也可用向量表示為

為了在某一方向θ上補(bǔ)償各陣元之間的時延以形成一個主瓣，常規(guī)波束形成器在期望方向上的加權(quán)向量的構(gòu)成為

觀察此加權(quán)向量，若空間只有一個來自方向θ的信號，其方向向量a(θ)的表示形式跟此權(quán)向量一樣。則有

這時常規(guī)波束形成器的輸出功率可以表示為

其中，矩陣R為陣列輸出x(t)的協(xié)方差矩陣，即

下面來分析常規(guī)波束形成法的角分辨率問題。一般來說，當(dāng)空間有兩個同頻信號投射到陣列時，如果它們的空間方位角的間隔小于陣列主瓣波束寬度，那么不僅無法分辨它們，而且還會嚴(yán)重影響系統(tǒng)的正常工作，即對于陣列遠(yuǎn)場中的兩個點信號源，僅當(dāng)它們之間的角度分離大于陣元間隔（或稱陣列孔徑）的倒數(shù)時，它們才可被分辨，這就是瑞利準(zhǔn)則。瑞利準(zhǔn)則說明常規(guī)波束形成法固有的缺點就是角分辨率低，如果要設(shè)法提高角分辨率，就要增加陣元間隔或增加陣元個數(shù)。這在系統(tǒng)施工上是難以實現(xiàn)的。

3.2.2　波束形成的最佳權(quán)向量

上述“導(dǎo)向”作用是通過調(diào)整加權(quán)系數(shù)完成的。令權(quán)向量為，則輸出可表示為

對不同的權(quán)向量，上式對來自不同方向的電波有不同的響應(yīng)，從而形成不同方向的空間波束。一般用移相器進(jìn)行加權(quán)處理，即只調(diào)整信號相位，不改變信號幅度，因為信號在任一瞬間各陣元上的幅度是相同的。不難看出，若空間只有一個來自方向的電波，其方向向量為，則當(dāng)權(quán)向量w取時，輸出最大，實現(xiàn)導(dǎo)向定位作用。這時，各路的加權(quán)信號為相干疊加，稱這一結(jié)果為空域匹配濾波。

匹配濾波在白噪聲背景下是最佳的，如果存在干擾信號就要另作考慮。下面考慮更復(fù)雜情況下的波束形成。假設(shè)空間遠(yuǎn)場有一個感興趣的信號d(t)（或稱期望信號，其波達(dá)方向為θd）和J個不感興趣的信號ij(t)，j=1,…,J（或稱干擾信號，其波達(dá)方向為θij）。令每個陣元上的加性白噪聲為nk(t)，它們都具有相同的方差σ2。在這些假設(shè)條件下，第k個陣元上的接收信號可以表示為

式（3-8）中等式右邊的三項分別表示信號、干擾和噪聲。若用矩陣形式表示，則有

或簡記為

式中，，表示來自波達(dá)方向的發(fā)射信源的方向向量。N個快拍的波束形成器輸出的平均功率為

這里忽略了不同用戶之間的相互作用項，即交叉項。當(dāng)N→∞時，式（3-11）可寫為

式中，為陣列輸出的協(xié)方差矩陣。

另一方面，當(dāng)N→∞時，式（3-11）可表示為

在獲得上式的過程中，使用了各加性噪聲具有相同的方差這一假設(shè)。

為了保證來自方向θd期望信號的正確接收，并完全抑制其他J個干擾，很容易根據(jù)式（3-13）得到關(guān)于權(quán)向量的約束條件

約束條件式（3-14）稱為波束“置零條件”，因為它強(qiáng)迫接收陣列波束方向圖的“零點”指向所有J個干擾信號。在以上兩個約束條件下，式（3-13）簡化為

從提高信干噪比的角度來看，以上的干擾置零并不是最佳選擇。這是因為雖然選定的權(quán)值可使干擾輸出為零，但可能使噪聲輸出加大。因此，抑制干擾和噪聲應(yīng)一同考慮。這樣一來，波束形成器最佳權(quán)向量的確定可以敘述為，在式（3-14）的約束下，求滿足式（3-15）的權(quán)向量w：

這個問題很容易用Lagrange乘子法求解。令目標(biāo)函數(shù)為

根據(jù)線性代數(shù)的有關(guān)知識，函數(shù)f(w)對復(fù)向量的偏導(dǎo)數(shù)定義為

利用這一定義，可以得到

由式（3-16）和式（3-18）易知，?L(w)?w=0的結(jié)果為2Rw+λa(θd)=0，得到的接收來自方向θd的期望信號的波束形成器的最佳權(quán)向量為

式中，μ為一比例常數(shù)，θd是期望信號的波達(dá)方向。這樣，就可以決定J+1個發(fā)射信號的波束形成的最佳權(quán)向量。此時，波束形成器將只接收來自方向θd的信號，并抑制所有來自其他波達(dá)方向的信號。

注意到約束條件也可等價地寫作，則式（3-19a）兩邊同乘以，并與等價的約束條件比較，可得式（3-19a）中的常數(shù)μ應(yīng)滿足

從上面介紹的陣列處理的基本問題可以看出，空域處理和時域處理的任務(wù)截然不同，傳統(tǒng)的時域處理主要提取信號的包絡(luò)信息，作為載體的載波在完成傳輸任務(wù)后不再有用；而傳統(tǒng)的空域處理則為了區(qū)別波達(dá)方向，主要利用載波在不同陣元間的相位差，包絡(luò)反而不起作用，并利用窄帶信號的復(fù)包絡(luò)在各陣元的延遲可忽略不計這一特點來簡化計算。

如式（3-19）所示，波束形成器的最佳權(quán)向量w取決于陣列方向向量a(θk)，而在移動通信里的用戶的方向向量一般是未知的，需要估計（稱為DOA估計）。因此，在使用式（3-19）計算波束形成的最佳權(quán)向量之前，必須在已知陣列幾何結(jié)構(gòu)的前提下先估計期望信號的波達(dá)方向。該波束形成器可稱最小方差無畸變響應(yīng)（MVDR）。

3.2.3　波束形成的準(zhǔn)則

由于傳統(tǒng)的常規(guī)波束形成法分辨率較低，這促使科研人員開始對高分辨波束形成技術(shù)進(jìn)行探索，自適應(yīng)波束形成算法很快就成了研究熱點。自適應(yīng)波束形成在某種最優(yōu)準(zhǔn)則下通過自適應(yīng)算法來實現(xiàn)權(quán)集尋優(yōu)，它能適應(yīng)各種環(huán)境的變化，實時地將權(quán)集調(diào)整到最佳位置附近。

波束形成算法是在一定準(zhǔn)則下綜合各輸入信息來計算最優(yōu)權(quán)值的數(shù)學(xué)方法。這些準(zhǔn)則中最重要、最常用的如下。

最大信噪比準(zhǔn)則（MSNR）：使期望信號分量功率與噪聲分量功率之比最大，但是必須知道噪聲的統(tǒng)計量和期望信號的波達(dá)方向。

最大信干噪比準(zhǔn)則（MSINR）：使期望信號功率與干擾功率及噪聲分量功率之和的比最大。

最小均方誤差準(zhǔn)則（MMSE）：在非雷達(dá)應(yīng)用中，陣列協(xié)方差矩陣中通常都含有期望信號，基于此種情況提出了該準(zhǔn)則。使陣列輸出與某期望響應(yīng)的均方誤差最小，不需要知道期望信號的波達(dá)方向。

最大似然比準(zhǔn)則（MLH）：在對有用信號完全先驗未知的情況下，參考信號無法設(shè)置，因此，在干擾噪聲背景下，首先要取得對有用信號的最大似然估計。

線性約束最小方差準(zhǔn)則（LCMV）：對有用信號形式和來向完全已知，在某種約束條件下使陣列輸出的方差最小。

可以證明，在理想情況下這幾種準(zhǔn)則得到的權(quán)是等價的，且可寫成通式，通常為維納解。其中，是期望信號的方向函數(shù)，亦稱約束導(dǎo)向向量，是不含期望信號的陣列協(xié)方差矩陣。表3-1比較了MMSE、MSNR和LCMV這3種統(tǒng)計最佳波束形成技術(shù)的準(zhǔn)則、代價函數(shù)、最佳解及具有的優(yōu)缺點。表中LCMV方法的線性約束條件取時，該方法也就是最小方法無畸變響應(yīng)（MVRD）波束形成器。