2.8　陣列協方差矩陣的特征分解

在實際處理中，我們通常得到的數據是在有限時間范圍內的有限次快拍數。在這段時間內，假定空間源信號的方向不發生變化，并且空間源信號的包絡雖然隨時間變化，但通常認為它是一個平穩隨機過程，其統計特性不隨時間變化，這樣就可以定義陣列輸出信號x(t)的協方差矩陣為

其中，，且，則有

此外，還有以下幾個條件必須滿足：

（1）M>K，即陣元個數M要大于該陣列系統可能接收到的空間信號的個數。

（2）對應于不同的信號來向θi（i=1,2,…,K），信號的方向向量a(θi)是線性獨立的。

（3）陣列中噪聲n(t)過程具有高斯分布特性，而且

其中，σ2表示噪聲功率。

（4）空間源信號向量s(t)的協方差矩陣

是對角非奇異陣，這表明空間源信號是不相干的。

由以上各式，可得出，可以證明R是非奇異的，且，因此R為正定Hermitain方陣，若利用酉變換實現對角化，其相似對角陣由M個不同的正實數組成，與之對應的M個特征向量是線性獨立的。因此，R的特征分解可以寫為

其中，，并可證明其特征值服從排序：。即前K個特征值與信號有關，其數值大于，這K個較大特征值所對應的特征向量表示為它們構成信號子空間，記是K個較大特征值構成的對角陣；而后M-K個特征值完全取決于噪聲，其數值均等于，所對應的特征向量構成噪聲子空間，而是由M-K個較小特征值構成的對角陣。

因此，可以將R劃分成

式中，ΣS為大特征值組成的對角陣；ΣN為小特征值組成的對角陣。

顯然，當空間噪聲為白噪聲時，有

下面給出在信號源獨立條件下關于特征子空間的一些性質，為后續的空間譜估計算法及其理論分析做準備[4]。

性質2.8.1　協方差矩陣的大特征值對應的特征向量張成的空間與入射信號的導向向量張成的空間是同一個空間，即

性質2.8.2　信號子空間與噪聲子空間正交，且有，其中i=K+1,…,M。

性質2.8.3　信號子空間US與噪聲子空間UN滿足

性質2.8.4　信號子空間US、噪聲子空間UN及陣列流形A滿足

性質2.8.5　定義，則有下式成立：

性質2.8.6　定義，則有下式成立：

性質2.8.7　定義，則有下式成立：

性質2.8.8　信號協方差矩陣RS滿足

性質2.8.9　定義，則有下式成立：

性質2.8.10　定義，，則有下式成立：

需要說明的是，在具體實現中，數據協方差矩陣用采樣協方差矩陣代替，即

式中，L表示數據的快拍數。對進行特征分解可以計算得到噪聲子空間、信號子空間及由特征值組成的對角矩陣