2.7　陣列響應向量/矩陣

常用的陣列形式包括均勻線陣、均勻圓陣、L型陣列、面陣和任意陣列等。

1. 均勻線陣

假設接收信號滿足窄帶條件，即信號經過陣列長度所需要的時間應遠遠小于信號的相干時間，信號包絡在天線陣傳播時間內變化不大。為簡化，假定信源和天線陣列在同一平面內，并且入射到天線陣為平面波。以來波方向θk（k=1,2,…,K），入射M根天線，如圖2-2所示，陣元間距為d的均勻線陣的陣列響應向量為

定義方向矩陣為

2. 均勻圓陣

均勻圓形陣列簡稱均勻圓陣，其M個相同的全向陣列均勻分布在平面x-y上一個半徑為R的圓周上，如圖2-3所示。采用球面坐標系表示入射平面波的波達方向，坐標系的原點O在陣列的中心，即圓心。信源的仰角θ是原點到信源的連線與z軸之間的夾角，方位角φ則是圓點到信源的連線在平面x-y的投影與x軸之間的夾角。

方向向量a(θ,φ)是DOA為(θ,φ)的陣列響應，a(θ,φ)可表示為

其中，γm=2πm/M；m=0,1,…,M-1；R為半徑。

3. L型陣列

圖2-4所示為L型陣列，有M+N-1個陣元。此L型陣列由x軸上陣元數為N的均勻線陣和y軸上陣元數為M的均勻線陣構成，陣列間距為d。假設空間有K個信源照射到此陣列上，其二維波達方向為(θk,φk)（k=1,2,…,K），其中θk、φk分別代表第k個信源的仰角、方位角。

假設入射到此陣列上的信源數為K，則x軸上N個陣元對應的方向矩陣為

y軸上M個陣元對應的方向矩陣為

Ax和Ay都是Vandermonde矩陣。

4. 面陣

如圖2-5所示，設平面陣列陣元數為M×N，信源數為K。θk、φk分別代表第k個信源的仰角、方位角，則空間第i個陣元與參考陣元之間的波程差為

式中，(xi,yi)為第i個陣元的坐標，面陣一般在x-y面內，所以zi一般為0。

由上面L型陣列的分析可知，x軸上的N個陣元的方向矩陣為Ax，見式（2-123）；y軸上的M個陣元的方向矩陣為Ay，見式（2-124）；所以如圖2-5所示的子陣列1的方向矩陣為Ax，而子陣列2的方向矩陣就得考慮沿y軸的偏移，每個陣元相對于參考陣元的波程差就等于子陣列1的陣元的波程差加上2πd sinφ sinθ/λ，所以可得

其中，Dm(·)是由矩陣的m行構造的一個對角矩陣。

5. 任意陣列

假設M元陣列位于任意三維空間中，如圖2-6所示。定義陣列中第m個傳感器為。方向矩陣是

其中，是第k個信源的方向向量，可以表示如下：

式中，λ是波長。