2.6　陣列天線的統(tǒng)計(jì)模型

2.6.1　前提及假設(shè)

信號(hào)通過無線信道傳輸?shù)那闆r是極其復(fù)雜的，其嚴(yán)格數(shù)字模型的建立需要有物理環(huán)境的完整描述，但這種做法往往很復(fù)雜。為了得到一個(gè)比較有用的參數(shù)化模型，必須簡(jiǎn)化有關(guān)波形傳輸?shù)募僭O(shè)[3]。

關(guān)于接收天線陣的假設(shè)：接收陣列由位于空間已知坐標(biāo)處的無源陣元按一定的形式排列而成。假設(shè)陣元的接收特性僅與其位置有關(guān)，而與其尺寸無關(guān)（認(rèn)為其是一個(gè)點(diǎn)），并且陣元都是全向陣元，增益均相等，相互之間的互耦忽略不計(jì)。陣元在接收信號(hào)時(shí)將產(chǎn)生噪聲，假設(shè)其為加性高斯白噪聲，各陣元上的噪聲相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且噪聲與信號(hào)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

關(guān)于空間源信號(hào)的假設(shè)：假設(shè)空間信號(hào)的傳播介質(zhì)是均勻且各向同性的，這時(shí)空間信號(hào)在介質(zhì)中將按直線傳播；同時(shí)又假設(shè)陣列處于空間信號(hào)輻射的遠(yuǎn)場(chǎng)中，所以空間源信號(hào)到達(dá)陣列時(shí)可被看成一束平行的平面波，空間源信號(hào)到達(dá)陣列各陣元在時(shí)間上的不同時(shí)延，可由陣列的幾何結(jié)構(gòu)和空間波的來向所決定。空間波的來向在三維空間中常用仰角θ和方位角φ來表征。

此外，在建立陣列信號(hào)模型時(shí)，還常常要區(qū)分空間源信號(hào)是窄帶信號(hào)還是寬帶信號(hào)。本書討論的大多是窄帶信號(hào)。所謂窄帶信號(hào)是指相對(duì)于信號(hào)（復(fù)信號(hào)）的載頻而言，信號(hào)包絡(luò)的帶寬很窄（包絡(luò)是慢變的）。因此，在同一時(shí)刻該類信號(hào)對(duì)陣列各陣元的不同影響僅僅在于因其到達(dá)各陣元的波程不同而導(dǎo)致的相位差異。

2.6.2　陣列的基本概念

令信號(hào)的載波為，并以平面波形式在空間沿波數(shù)向量k的方向傳播，設(shè)基準(zhǔn)點(diǎn)處的信號(hào)為，則距離基準(zhǔn)點(diǎn)r處的陣元接收的信號(hào)為

式中，k為波數(shù)向量；α=k/|k|為電波傳播方向，單位向量；|k|=ω/c=2π/λ為波數(shù)（弧度/長(zhǎng)度），其中c為光速，λ為電磁波的波長(zhǎng)；(1/c)rTα為信號(hào)相對(duì)于基準(zhǔn)點(diǎn)的延遲時(shí)間；rTk為電磁波傳播到離基準(zhǔn)點(diǎn)r處的陣元相對(duì)于電波傳播到基準(zhǔn)點(diǎn)的滯后相位。θ為波傳播方向角，它是相對(duì)于x軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向定義的，顯然，波數(shù)向量可表示為

電波從點(diǎn)輻射源以球面波向外傳播，只要離輻射源足夠遠(yuǎn)，在接收的局部區(qū)域，球面波就可以近似為平面波。雷達(dá)和通信信號(hào)的傳播一般都滿足這一遠(yuǎn)場(chǎng)條件。

設(shè)在空間有M個(gè)陣元組成陣列，將陣元從1到M編號(hào)，并以陣元1（也可選擇其他陣元）作為基準(zhǔn)或參考點(diǎn)。設(shè)各陣元無方向性（全向），相對(duì)于基準(zhǔn)點(diǎn)的位置向量分別為。若基準(zhǔn)點(diǎn)處的接收信號(hào)為，則各陣元上的接收信號(hào)分別為

在通信里，信號(hào)的頻帶B比載波值ω小得多，所以s(t)的變化相對(duì)緩慢，延時(shí)，故有，即信號(hào)包絡(luò)在各陣元上的差異可忽略，稱為窄帶信號(hào)。

此外，陣列信號(hào)總是變換到基帶再進(jìn)行處理，因而可將陣列信號(hào)用向量形式表示為

上式中的向量部分稱為方向向量，因?yàn)楫?dāng)波長(zhǎng)和陣列的幾何結(jié)構(gòu)確定時(shí)，該向量只與到達(dá)波的空間角向量θ有關(guān)。方向向量記作a(θ)，它與基準(zhǔn)點(diǎn)的位置無關(guān)。例如，若選第一個(gè)陣元為基準(zhǔn)點(diǎn)，則方向向量為

式中

實(shí)際使用的陣列結(jié)構(gòu)要求方向向量a(θ)必須與空間角向量θ一一對(duì)應(yīng)，不能出現(xiàn)模糊現(xiàn)象。當(dāng)有多個(gè)（如K個(gè)）信源時(shí)，到達(dá)波的方向向量可分別用a(θ)表示。這K個(gè)方向向量組成的矩陣A=[a(θ1), a(θ2),…,a(θK)]稱為陣列的方向矩陣或響應(yīng)矩陣，它表示所有信源的方向。改變空間角θ，使方向向量a(θ)在M維空間內(nèi)掃描，所形成的曲面稱為陣列流形。

陣列流形常用符號(hào)A表示，即有

其中，Θ=[0,2π)是波達(dá)方向θ所有可能取值的集合。因此，陣列流形A即陣列方向向量（或陣列響應(yīng)向量）的集合。陣列流形A包含了陣列幾何結(jié)構(gòu)、陣元模式、陣元間的耦合、頻率等影響。

2.6.3　天線陣模型

設(shè)有一個(gè)天線陣列，它由M個(gè)具有任意方向性的陣元按任意排列構(gòu)成。同時(shí)設(shè)有K個(gè)具有相同中心頻率、波長(zhǎng)為λ的空間窄帶平面波（M>K）分別以來向角入射到該陣列，波達(dá)方向如圖2-1所示。其中，。、分別是第i個(gè)入射信號(hào)的仰角、方位角，、，則陣列第m個(gè)陣元的輸出可表示為

其中，為入射到陣列的第i個(gè)源信號(hào)，為第m個(gè)陣元的加性噪聲，為來自方向的源信號(hào)投射到第m個(gè)陣元時(shí)相對(duì)于選定參考點(diǎn)的時(shí)延。并記為

另外，s(t)為K×1維列向量

A(Θ)為M×K矩陣的方向矩陣

矩陣A(Θ)中任一列向量a(Θi)是陣列在空間源信號(hào)中一個(gè)來向?yàn)?span id="mmo7hnf" class="bold">Θi的方向向量，且是M×1維列向量

因此，如用矩陣描述，即使在最一般化的情況下，陣列信號(hào)模型可簡(jiǎn)煉地表示為

很顯然，矩陣A(Θ)與陣列的形狀、信號(hào)源的來向有關(guān)，而一般在實(shí)際應(yīng)用中，天線陣的形狀一旦固定就不會(huì)改變了。所以，矩陣A(Θ)中任何列總是和某個(gè)空間源信號(hào)的來向緊密聯(lián)系的。

2.6.4　陣列的方向圖

陣列輸出的絕對(duì)值與來波方向之間的關(guān)系稱為天線的方向圖。方向圖一般有兩類：一類是陣列輸出的直接相加（不考慮信號(hào)及其來向），即靜態(tài)方向圖；另一類是帶指向的方向圖（考慮信號(hào)指向），當(dāng)然信號(hào)的指向是通過控制加權(quán)的相位來實(shí)現(xiàn)的。從前面的信號(hào)模型可知，對(duì)于某一確定的M元空間陣列，在忽略噪聲的條件下，第l個(gè)陣元的復(fù)振幅為[4]

式中，g0為來波的復(fù)振幅，τl為第l個(gè)陣元與參考點(diǎn)之間的延遲。設(shè)第l個(gè)陣元的權(quán)值為ωl，那么所有陣元加權(quán)的輸出相加，得到陣列的輸出為

對(duì)上式取絕對(duì)值并歸一化后可得到空間陣列的方向圖G(θ)為

如果式中ωl=1，l=1,2,…,M，式（2-103）即靜態(tài)方向圖G(θ)。

下面考慮均勻線陣的方向圖。假設(shè)均勻線陣的間距為d，且以最左邊的陣元為參考點(diǎn)；另假設(shè)信號(hào)入射方位角為θ，其中方位角表示與線陣法線方向的夾角，與參考點(diǎn)的波程差為，則陣列的輸出為

式中β=2πd sinθ/λ，λ為入射信號(hào)的波長(zhǎng)。

當(dāng)式（2-104）中ωl=1（l=1,2,…,M）時(shí)，式（2-104）可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

可得均勻線陣的靜態(tài)方向圖

當(dāng)式（2-104）中，時(shí)，式（2-104）可簡(jiǎn)化為

于是可得指向?yàn)?span id="q3txmoe" class="content-word-italic">θd的陣列方向圖

另外，其他陣列的方向圖見參考文獻(xiàn)[4]。

2.6.5　波束寬度

線陣的測(cè)向范圍為[-90°, 90°]，而一般的面陣如圓陣的測(cè)向范圍為[-180°, 180°]。為了說明波束寬度，下面只考慮線陣。由式（2-106）可知，M個(gè)陣元的均勻線陣的靜態(tài)方向圖

式中，空間頻率

對(duì)于天線靜態(tài)方向圖主瓣的零點(diǎn)，由可得零點(diǎn)波束寬度為

由可得半功率點(diǎn)波束寬度，在Md?λ的條件下有

在本書中一般考慮的是靜態(tài)方向圖的半功率點(diǎn)波束寬度，即對(duì)于均勻線陣而言，其波束寬度為

式中，D為天線的有效孔徑，λ為信號(hào)的波長(zhǎng)，rad表示弧度單位。對(duì)于M陣元的等距均勻線陣，陣元間距為λ/2，則天線的有效孔徑為D=(M-1)λ/2，所以對(duì)于ULA陣，陣列的波束寬度的近似計(jì)算公式為

關(guān)于波束寬度，有以下幾點(diǎn)需要注意。

（1）波束寬度與天線孔徑成反比，在一般情況下，天線的半功率點(diǎn)波束寬度與天線孔徑之間有如下關(guān)系：

（2）對(duì)于某些陣列（如線陣），天線的波束寬度與波束指向有關(guān)系，如波束指向?yàn)?span id="mwyeg23" class="content-word-italic">θd時(shí)，均勻線陣的波束寬度為

（3）波束寬度越窄，陣列的指向性越好，也就說明陣列分辨空間信號(hào)的能力越強(qiáng)。

2.6.6　分辨率

在陣列測(cè)向中，某方向上對(duì)信源的分辨率與在該方向附近陣列方向向量的變化率直接相關(guān)。在方向向量變化較快的方向附近，隨信源角度變化，陣列快拍數(shù)據(jù)變化也較大，分辨率也較高。定義一個(gè)表征分辨率D(θ)：

D(θ)越大則表明在該方向上的分辨率越高。

對(duì)于均勻線陣

說明信號(hào)在0°方向分辨率最高，而在60°方向分辨率已降了一半，所以一般線陣的測(cè)向范圍為-60°～60°。其他陣列的分辨率詳見參考文獻(xiàn)[4]。