2.9　信源數估計方法

陣列信號處理中的大部分算法均需要知道入射信號數。但在實際應用場合，信號源數通常是一個未知數，往往需要先估計信號源的數目或假設信號源數目已知，然后再估計信號源的方向[5-24]。根據特征空間的分析可知，在一定的條件下，數據協方差矩陣的大特征值對應于信號源數，而小特征值是相等的（等于噪聲功率）。這就說明可以直接根據數據協方差矩陣的大特征值來判斷信號的源數。但在實際應用場合，由于快拍數、信噪比等方面的限制，在對實際得到的數據協方差矩陣進行特征分解后，不可能得到明顯的大小特征值。很多學者提出了在信號數估計方面較為有效的方法，包括信息論方法、平滑秩法、矩陣分解法、蓋氏圓方法和正則相關等方法。

2.9.1　特征值分解方法

在存在觀測噪聲時，接收信號模型為X=AS+N。表示有觀測噪聲時的混合信號的協方差矩陣：

其中，，，為噪聲功率。容易驗證，若為R的M個特征值，而為的M個特征值，則有，因此，在信噪比較高的情況下，協方差矩陣的主特征值數與信號源的個數都等于K。

將得到的協方差矩陣的特征值從大到小排列，即。設；作為觀測樣本矩陣的主特征值數，則信源數目K應取值使得。該方法的優點是運算簡單，且估計準確率較高。

2.9.2　信息論方法

信息論方法是Wax和Kailath[6,7]提出的，這些方法都是在Anderson [8]和Rissanen[9]提出的理論的基礎上發展起來的，如Akaike信息論（AIC）準則[10]、最小描述長度（MDL）準則、有效檢測（EDC）準則等方法。信息論方法有一個統一的表達形式：

式中，L(k)是對數似然函數，P(k)是罰函數。通過對L(k)和P(k)的不同選擇就可以得到不同的準則。

下面介紹EDC信息論準則，有

其中，k為待估計的信號源數（自由度），L為采樣數，Λ(k)為似然函數，且

另外，式（2-134）中的C(L)須滿足式（2-136a）和式（2-136b）所示的條件：

當C(L)滿足上述條件時，EDC準則具有估計一致性。

在式（2-134）中選擇C(L)分別為1、(lnL)/2及(ln ln L)/2時，就可以得到AIC、MDL、HQ等準則，即

除了上述準則，還有一些修正的準則，得出如下結論。

（1）AIC準則不是一致性估計，即在大快拍數的場合，它仍然有較大的誤差概率；而MDL準則相對較好；HQ準則居于兩者之間，主要是由準則中的罰函數項引起的。

（2）MDL準則是一致性估計，也就是說在高信噪比情況下該準則有較好的性能，但在低信噪比情況下該準則相比于AIC有更高的誤差概率。在高信噪比情況下，MDL準則的誤差概率比AIC準則的小。

（3）當在EDC準則中C(L)=1/2ln L時，EDC準則也就是MDL準則，所以說MDL準則是EDC準則的一種特例。

（4）當在EDC準則中C(L)=1/2ln ln L時，EDC準則也就是HQ準則，所以說，HQ準則也是EDC準則的一種特例。從低信噪比角度而言，在這三種準則中HQ準則最優，其次是AIC準則。

2.9.3　其他信源數估計方法

在用信息論準則來估計信源數時，只能對獨立信號源的總數做出估計。當信號源相干時，無法準確估計信源數，而且對信號源的類別和結構不能做出判斷。平滑秩序列法能在信號源相干的情況下有效工作。

但是，信源數估計方法，包括信息論方法、平滑秩方法及矩陣分解方法等都需要得到矩陣或修正后矩陣的特征值，然后再利用特征值來估計信源數。蓋氏圓方法[22,23]是一種不需要具體知道特征值的信源數估計方法。它利用Gerschgorin圓盤定理，就可估計各特征值的位置，進而估計信號源。

前文介紹的信源數的估計方法都是針對高斯白噪聲背景對入射信源數進行估計的。當噪聲中有色成分加大時，這些算法性能下降很快。針對這種情形，可采用正則相關技術（CCT）[24]，更詳細的分析見文獻[4]。