2.4　平行因子理論

2.4.1　平行因子模型

三線性分解又稱規(guī)范分解、三倍數(shù)積分解或平行因子（Parallel Factor，PARAFAC）分析。I×J×K的三維陣列（其元素為）及F元的三線性分解[2]：

其中，i=1,2,…I; j=1,2,…,J; k=1,2,…,K。定義下列矩陣：I×F維矩陣A，其元素為；J×F維矩陣B，其元素為；K×F維矩陣C，其元素為。則式（2-81）中的模型可以寫成沿三個不同維度的聯(lián)立方程，每個方程都可以解釋成沿三個不同維度去“切”三維陣列X的結(jié)果，如下：

其中Di(A)為由矩陣A的第i行元素構(gòu)成的對角矩陣。

PARAFAC是一個三維模型，屬于多維陣列的代數(shù)，也稱多維分析。PARAFAC可以看成三維陣列的低秩分解，就像奇異值分解可以看成矩陣的低秩分解一樣。但是，從矩陣（二維陣列）到三維陣列，其中有很大的不同，即低秩矩陣分解不是唯一的（奇異值分解之所以是唯一的，是因為施加了正交性約束），但在適當?shù)募僭O(shè)條件下，PARAFAC是唯一的，不需要正交性或其他的約束條件。

2.4.2　可辨識性

與矩陣秩的概念一樣，k-秩（Kruskal-秩）的概念在多線性代數(shù)里起著非常重要的作用[2]。

定義2.4.1　對于給定的矩陣，當且僅當A包含至少r+1個獨立的列時，A的秩為。如果矩陣A的任意k列獨立，則A的k-秩。此時，k=F，或者A包含k+1個獨立的列，即

性質(zhì)2.4.1　一個隨機矩陣，其列是從絕對連續(xù)分布中獨立提出的，則它以概率1具有滿秩，并具有滿k-秩，即

性質(zhì)2.4.2　Vandermonde矩陣的k-秩。一個由非零序列構(gòu)成的Vand-ermonde矩陣，不僅具有滿秩，而且具有滿k-秩。

性質(zhì)2.4.3　Khatri-Rao乘積的k-秩。考慮Khatri-Rao（列Kronecker）乘積

其中，A的大小為I×F，B的大小為J×F。如果A和B均不含有全零列（因此，），則

三線性模型的本質(zhì)特征就是其唯一性。在合適的條件下，三線性模型本質(zhì)上是唯一的，即在沒有陣模糊的情況下，A、B和C是可辨識的。下面介紹幾個結(jié)論。

定理2.4.1　給定，，，如果

則A、B和C對于列交換和（復(fù)數(shù)）尺度變換是唯一的。

從絕對連續(xù)分布中取出的相對獨立的列組成的矩陣以概率1具有滿k-秩。如果三個矩陣都滿足該條件，則可辨識的充分條件為

如果對A、B和C可以有其他的結(jié)構(gòu)約束，則可望獲得更佳的可辨識性結(jié)果，將A、B、C中的一個或幾個限制為Vandermonde矩陣。

定理2.4.2　，，，是由非零序列構(gòu)成的Vandermonde矩陣。如果

則A、B和C是可辨識的（列的模交換和尺度變換）。

如果三個矩陣中有兩個以上為Vandermonde矩陣，結(jié)果會進一步增強。

定理2.4.3　給定，，，設(shè)A和B是由非零序列構(gòu)成的Vandermonde矩陣，如果

則A、B和C是可辨識的（列的模交換和尺度變換）。

如果三個矩陣全是Vandermonde矩陣，則可得到下述結(jié)論。

定理2.4.4　給定的，，，設(shè)A、B和C是由非零序列構(gòu)成的Vandermonde矩陣。如果

I+J+K≥2F+2

則A、B和C是可辨識的（列的模交換和尺度變換）。

定理2.4.5　多線性分解的唯一性。考慮一個d-線性模型[2]：

其中，，設(shè)模型在不能用少于F個元表示的意義上是不可約的（等價地說，具有典型元素的d維陣列的秩為F）。給定，，，則對于列的模交換和尺度變換是唯一的，只要滿足

2.4.3　PARAFAC分解

關(guān)于PARAFAC模型的求解前人已經(jīng)研究出了不少算法，本書主要介紹較為常用的三線性交替最小二乘（Trilinear Alternating Least Square，TALS）算法。三線性交替最小二乘算法是三線性模型進行數(shù)據(jù)檢測的一種常用方法。TALS的基本思想是每一步更新一個矩陣，更新的辦法是：對余下的矩陣，依據(jù)前一次估計的結(jié)果，利用最小二乘（LS）來更新；繼續(xù)對其他矩陣進行更新；重復(fù)以上步驟直到算法收斂[2]。具體如下：

（1）根據(jù)式（2-83），得到

其中，為含噪信號。的最小二乘估計為

（2）根據(jù)式（2-84），得到

其中，為含噪信號。的最小二乘估計為

（3）根據(jù)式（2-82），得到

其中，為含噪信號。的最小二乘估計為

（4）循環(huán)更新矩陣，直到收斂。