2.3　四元數理論

四元數是1843年由英國數學家Hamilton提出的，至今已一個半世紀。但在相當長的一段時間里，它沒有為人們所重視，更沒有得到實際的應用。直到20世紀后期，隨著剛體力學理論的發展，人們發現利用四元數和四元數矩陣可以較好地處理剛體運動學，特別是剛體運動分析的理論問題和運動控制的實際問題，從而使四元數在理論力學中開始獲得應用。隨之而來的，是四元數及四元數矩陣理論在其他應用領域的研究也漸漸活躍起來，如計算機動畫、圖像處理、陣列信號處理和譜分析等[1]。

2.3.1　四元數

定義2.3.1　設

其中，i、j、k代表虛部符號，代表實數域。若i、j、k滿足乘法規則ij=-ji=k, i2=j2=k2=-1, jk=-kj=i, ki=-ik=j，則稱q為Hamilton四元數（在一些文獻中，存在不同于Hamilton四元數的運算規則，因為Hamilton四元數是研究最為廣泛和深入的一種四元數，且一般文獻所稱四元數即指Hamilton四元數，所以本書若不加特殊聲明，所稱四元數均指Hamilton定義的四元數），稱a為四元數q的實部，稱ib+jc+kd為q的虛部。特別地，當c=d=0時，q就是復數了；進而，當b=c=d=0時，q就是實數了。故四元數是實數和復數的擴充。

q的共軛定義為，幅值定義為，倒數定義為。有時為了適應研究內容，也會定義，相應地則還有、、、、等。另外，q也可以用幅值和相位的關系來表示，其定義為

從Hamilton四元數的定義可以看出，如果改變i、j、k之間的運算定義規則，就可以出現其他不同于Hamilton四元數的定義。本書最主要的研究對象是Hamilton四元數，其次是國內稱之為“超復數”的一種四元數，因為馬全中先生在20世紀80年代就對它進行了深入的研究，也稱其為“馬氏四元數”。

“馬氏四元數”所定義的乘法規則為：ij=ji=k, i2=j2=-k2=-1, jk=kj=-i, ki=ik=-j。很顯然，“馬氏四元數”滿足乘法運算交換律。

此外，另一種不同于“馬氏四元數”，但同樣滿足乘法交換律的四元數是由屈鵬展先生定義的“新四元數”。新四元數的乘法規則定義為：ik=ki=-1, jj=-1, jk=kj=-i, kk=-j, ii=j, ij=ji=k。

2.3.2　Hamilton四元數矩陣

設矩陣，(為四元數域)，則稱X為m×n階的四元數矩陣。本書主要用到的是四元數矩陣的復分解，因此，僅重點介紹四元數矩陣的復分解式與導出陣。

定義2.3.2　設X為m×n階的四元數矩陣，則X可唯一地表示為

稱為X在復數域上的分解式。也就是，任意一個四元數矩陣都可以唯一地由兩個復數矩陣的組合表示。

定義2.3.3　設X為m×n階的四元數矩陣，是X在復數域上的分解式，則稱

或

為四元數矩陣X的復表示矩陣或X在復數域上的導出陣。

本書僅列出四元數矩陣X的復表示矩陣的兩個重要性質：

（1）設，則，即四元數矩陣的秩是其復數域上的導出陣的1/2。

（2）設，f(x)為(為實數域)上的多項式，則

需要特別注意的是，四元數矩陣的復表示在形式上種類較多，雖然它們具有同樣的性質，但在實際計算中，不同的復表示方法的中間計算結果會稍有區別。

2.3.3　Hamilton四元數矩陣的奇異值分解

設四元數矩陣，且秩為r，則四元數矩陣X的奇異值分解為

其中，U代表左四元數奇異向量矩陣，V代表右四元數奇異向量矩陣，Σr代表非零的實對角矩陣。

四元數矩陣X的奇異值分解還可以表示為

其中，un代表左四元數奇異向量，U的第n個列向量；vn代表的是右四元數奇異向量，V的第n個列向量；σn代表的是實奇異值。

實際上，四元數矩陣的奇異值分解與實數或復數的奇異值分解類似，都可以通過奇異值中的非零實奇異值的個數反映矩陣的秩。在信號處理中，常?？梢岳闷娈愔捣纸馑弥鹊拇笮泶_定原始信號的個數，從而進一步利用奇異值區分左四元數奇異向量矩陣中的左信號子空間和左噪聲子空間及右四元數奇異向量矩陣中的右信號子空間和右噪聲子空間，再利用信號子空間或噪聲子空間求解原始信號參量。

假設四元數矩陣為含r個信號的數據矩陣且不含噪聲，則X可以寫為

其中，為對應于的左四元數奇異向量矩陣，且向量之間兩兩正交，也由它可以構造左信號子空間；為對應于0的左奇異向量矩陣，且向量之間兩兩正交，也由它可以構造左噪聲子空間，且為對應于的右四元數奇異向量矩陣，且向量之間兩兩正交，由它也可以構造右信號子空間；為對應于0的右奇異向量矩陣，且向量之間兩兩正交，由它也可以構造右噪聲子空間，且

四元數矩陣的奇異值分解一般是通過計算對應的復表示矩陣的奇異值分解后再構成的。首先，對Xσ進行奇異值分解，如下式：

其中，, 和可以寫為

之后，就可以利用四元數矩陣的復表示計算四元數矩陣的奇異值分解了，步驟如下。

（1）對Xσ進行奇異值分解。

（2）X的左四元數奇異向量U的第n個列向量由Xσ的第n'=(2n-1)個左奇異向量按下式構成：

同理，X的右四元數奇異向量V的第n個列向量由Xσ的第n'=(2n-1)個右奇異向量按下式構成：

（3）Σr中第n個對角元素是Σ2r中第n'=(2n-1)個對角元素。

2.3.4　Hamilton四元數矩陣的右特征值分解

由于四元數乘法不滿足乘法交換律，使得四元數矩陣的特征值分解比起實數或復數域的矩陣要復雜得多。

定義2.3.4　設四元數矩陣，若存在及，使得

則稱λ為X的右（或左）特征值，而稱α為X的屬于右（或左）特征值λ的特征向量。如果λ既是X的右特征值，又是X的左特征值，則稱λ為X的特征值。需要注意的是，四元數矩陣X的右特征值不一定是左特征值，反之左特征值也不一定是右特征值。

四元數矩陣X的右特征值一定存在，并且如果是四元數矩陣X的右特征值，其對應的右特征向量為，則也一定是四元數矩陣X的右特征值，而其對應的右特征向量為

對于一個n×n維的四元數矩陣，如果它的右特征值全為復數（虛部不為零），則它有2n個不同的右特征值，對應的右特征向量也有2n個，且都為n維，即所有右特征向量構成的四元數矩陣為n×2n維矩陣。根據四元數矩陣極大右（左）線性無關組和秩的定義，m×n維的四元數矩陣的秩一定不大于min(m,n)，所以，四元數域與復數或實數域中不同的是，不同右特征值之間的右特征向量并不能保證是線性無關的。

本書主要用到的是四元數矩陣的右特征值分解，并且要通過四元數矩陣的右特征向量構造信號子空間與噪聲子空間。因此，必須要求四元數矩陣的右特征向量之間是兩兩正交的。根據四元數矩陣的譜分解定理，當四元數矩陣時，則存在，使

其中，是指X是一個自共軛矩陣，即；U代表四元數酉矩陣，四元數酉矩陣的定義與復數酉矩陣定義相同，因此U中的向量是兩兩正交的；為四元數矩陣X的右特征值，且皆為實數。

譜分解的定理可以這樣理解：如果四元數矩陣X為自共軛矩陣，那么X一定有且只有n個實數右特征值，并且這n個實數右特征值對應的右特征向量之間一定是兩兩正交的。

四元數矩陣的右特征值分解一般是通過計算對應的復表示矩陣的特征值分解后再構成的。

假設

其中，a是屬于特征值λ的特征向量。如果（虛部不為零），則也一定是的特征值。

由于，所以，對應于特征值（虛部不為零）的特征向量，同時也是的特征值；λ就是X的右特征值，設其對應的右特征向量為α，也是X的右特征值，設其對應的右特征向量為β。設對應于特征值（虛部不為零）的特征向量，其中，，四元數矩陣X屬于右特征值λ的特征向量為，屬于右特征值的特征向量