2.2　高階統計量

2.2.1　高階矩、高階累積量和高階譜

高階統計量通常包括高階累積量和高階矩，以及它們相應的譜——高階累積量譜和高階矩譜這四種主要統計量。它們都描述了隨機過程的數字特征[1]。

對于n維隨機變量X=[x1,x2,…,xn]T，定義其第一特征函數為

其第二特征函數為

定義2.2.1和定義2.2.2　對式（2-24）和式（2-25）分別進行泰勒級數展開，則隨機變量的階累積量和階矩分別定義為

累積量和矩之間可以相互轉化。如果隨機變量的一次實現為，表示x的下標的組合。若，則表示下標為I的子向量，I≤k，其中，i=1,2,…,q，q≤k。若I的一種分割的集合中的元素數量為q個，表示非相交、非空的無序集合，表示對I所有可能的分割求和。用表示的矩，用表示的累積量，則累積量和矩之間的轉換公式為

由此可知，一個零均值隨機過程{x(n)}的二、三、四階累積量分別為

若零均值的隨機過程{x(n)}是平穩的，則有：

定義2.2.3　設高階累積量是絕對可和的，即

則k階累積量譜定義為k階累積量的k-1維傅里葉變換，即

高階累積量譜常簡稱高階譜或多譜。最常用的高階譜是三階譜和四階譜，我們又把三階譜稱為雙譜，四階譜稱為三譜。

定義2.2.4　設高階矩是絕對可和的，即

則k階矩譜定義為k階矩的k-1維傅里葉變換，即

2.2.2　累積量性質

性質2.2.1　設n個常數λi（i=1,…,n）與n維隨機變量{x1,x2,…,xn}對應，則有

性質2.2.2　累積量關于它們的變量對稱。

其中，(i1,i2,…,in)是(1,2,…,n)的任意一種組合。

性質2.2.3　累積量關于它們的變量具有可加性。

性質2.2.4　如果α為常數，則有

性質2.2.5　如果n維隨機變量和相互獨立，則

性質2.2.6　如果n維隨機變量中的某個子集與其補集相互獨立，則

2.2.3　高斯隨機過程的高階累積量

n維高斯隨機變量，設其均值向量為，協方差矩陣為

其中，且，i,j=1,2,…,n。

n維高斯隨機變量X的聯合概率密度函數為

X的聯合特征函數為

其中

X的第二聯合特征函數為

于是，根據累積量定義式，隨機變量X的階累積量為

由于Ψ(ω)是關于自變量ωi(i=1,2,…,n)的二次多項式，因而Ψ(ω)關于自變量的三階及更高階的偏導數等于零，則X的三階及三階以上的累積量等于零。

由X的聯合特征函數可得出階矩，并可證明

由此可得以下結論：

（1）高斯過程大于二階的矩不會比二階矩提供更多的信息。

（2）高斯過程大于二階的累積量全部為零。

（3）非高斯過程至少存在某個大于二階的高階累積量不為零。

因此，高階累積量可以抑制高斯分布的噪聲，建立高斯噪聲中的非高斯信號模型，提取高斯噪聲中的非高斯信號。

2.2.4　隨機場的累積量與多譜

引入向量符號

定義2.2.5　隨機場y(m,n)的k階累積量定義為第二特征函數（累積量生成函數）的Taylor級數展開中的項的系數。

因此，y(m,n)的k階累積量是用k階及其以下各階的聯合矩定義的，是2(k-1)個滯后變量的函數。更高維數的隨機過程的累積量也可以用類似的方法定義，而且d維隨機場的k階累積量是d(k-1)個滯后變量的函數。

為了簡化符號，我們用表示d個元素的行向量，記,，用表示，并且定義及

利用以上符號，零均值的隨機過程的二、三、四階累積量分別由以下各式給出：

作為平穩性的結果，我們有

這說明，二維平穩隨機過程y(m,n)的三階累積量只需要計算出區域內的累積量，就能夠推算出所有滯后的累積量。這一區域就是三階累積量的無冗余支撐區。對于d維隨機場，其k階累積量共有k!個對稱關系：

將上述討論結果推而廣之，將標量變元換成向量變元后，（一維）累積量的定義、對稱性，以及其他性質就變成多維累積量的定義和各種性質。同樣，高斯過程的定義及性質也可進行相應的推廣。

d維隨機過程的k階多譜定義為其k階累積量的d(k-1)維傅里葉變換。和一維情況類似，累積量的絕對可和性是對應的多譜存在的充分條件。進一步地，若是一個可表示為的線性過程，則的多譜存在的條件是：的（相同階數）多譜存在，并且是絕對可和的。

特別地，2d維雙譜是式（2-55）的2d維傅里葉變換：

注意，d維隨機過程的k階多譜是d(k-1)個頻率變量的函數，因為每個都是d個元素的行向量。雙譜具有以下對稱性質：

若為實值過程，則

k階多譜相對于它們的變元是對稱的，并滿足下列關系：

2.2.5　二維隨機場的高階矩及高階累積量估計

如果y(t1,t2)為一個二維零均值實平穩過程，滿足如下條件：

?i∈{1,2,…,2k-1},且

那么，對有如下結論：

其中，表示“幾乎肯定相等”，式（2-64）表示“k階矩的樣本估計幾乎肯定收斂到k階矩的真實值”。k階矩、k階矩的樣本估計、k階累積量及k階累積量的樣本估計分別定義如下：