16.水里的星空

夜里的河水同樣能夠出一道幾何題讓我們求解。

果戈理描寫第聶伯河時曾說：“群星在塵世上空閃閃發亮，可它們又悉數映在第聶伯河里。所有的星星被第聶伯河攬在自己那幽暗的懷抱之中，誰也不可能跑脫，除非在夜空中熄滅。”確實是這樣，在你逗留于大河的河岸時，就會發現星空都能在河水中看到。現實也如此嗎？群星難道都“被攬入”第聶伯河的懷中了？

我們來根據圖53具體看看。如果設觀察者位置為A，水面為MN，那么位于A點的人能看到哪些星星呢？

過點A作關于MN對稱的點A′，AA′交MN于點D。假設觀測者此時站在該點觀察，那么他的視力范圍就僅限于∠BA′C，也就是說他看得到這個有限空間的星星。位于A點的觀測者視力范圍也是有限的，無法看到這個范圍之外的星星，因為那些星星的反射光根本就進入不到他的視力范圍。

那么怎么驗證觀測者無法從河水中看到位于∠BA′C外部的S星呢？S星的光將在MP這一角度經水面反射后返回，∠MP等于∠SMP（反射角等于入射角），不過這個角度比∠PMA小（用△ADM≌A′DM的關系就可求證），于是，反射光應由點A附近通過。假設S星位于比M點遠些的位置，通過水面反射后更是難以被觀測者看到。

這意味著果戈理的描述很夸張：第聶伯河里映射的星星并非全部，甚至不到所有星星的。

頗有趣的是，從水面上看到的夜空即使再廣袤，也無法說明你的眼前就一定是條大河。如果你俯瞰河岸很低并且狹長的小河，你會觀測到大概的星空，甚至比寬廣的大河看到的還要多。當然，這需要你靈活調整自己的視角（見圖54）。

圖53　星空在寬闊水域的影像

圖54　投影于低矮、狹窄小河里的星空