2.流言蜚語

常言道：“好事不出門，壞事傳千里。”最近一些小道消息在城里傳得沸沸揚揚。有些事在發生后不到120分鐘，每個人都聽說了那件事，大家都知道了。

它令人嘆為觀止的傳播速度，顯得有些詭異。可是，倘若以數學方法解釋該現象，就不會覺得奇異或難以置信——一切事物都能以數字的方式加以闡述，無須借助于小道消息的特性來解釋。

一

我以實際發生的事情為實例來具體和大家說說。一天早上8︰00，省會出現了位外鄉人，此人掌握一條所有人都想知道的信息（圖29）。在這位客人入住的賓館，他把信息透露給了3位當地人。假設這個過程用時一刻鐘。

這說明，早上8︰15有4個人得知該信息：外鄉人與3位當地人。

人們都有與他人分享信息的嗜好，外鄉人和幾位當地人也不例外。于是3位當地人不約而同地分別將聽到的信息說給了自己熟悉的另外3個人（圖30）。假定共用時15分鐘——與他人分享信息還需一段時間。這說明，此信息在傳到省城僅30分鐘后，得知這條信息的就多達13人（4+3×3=13）。

而且知道這件事的人遠不止這些人，人人都有傾訴的欲望，得知這條信息的另外9個人又都禁不住分頭將其透露給了自己認識的其他3個人，于是到了8︰45，得知這條信息的人數上升為40人（13+3×9=40）。

假若此信息以如此的方式接著在省城流傳，換言之，聽說這件事的人也是在一刻鐘的工夫里順利將其告訴另外的3個人，這條信息就按以下的時間序列傳遞：

9︰00得知該信息的人有121人（40+3×27=21）；

9︰15就有364人知道那條信息（121+3×81=364）；

9︰30就有1 093人得知這條信息（364+3×243=1 093）。

通過數學運算，大家不難看出，一條信息僅用了1小時30分鐘就有近乎1 100人知曉。或許，這在有50 000人的省城并不值得大驚小怪，可能大家會覺得，不見得省城的人都會迅速得知該信息。大家先別急，我們用數學工具來算算，就知道它流傳的大概情況了：

9︰45有3 280人知道了這條信息（1 093+3×729=3 280）；

10︰00就有9 841人得知這條信息（3 280+3×2 187=9 841）；

10︰15，省城的29 524人得知這條信息（9 841+3×6 561=29 524），也就是說又用了一刻鐘，省城的人就了解了這條信息（圖31）。

早晨8︰00外鄉人將這條信息帶進省城，不到11︰00幾乎全城的人都知道了。

二

大家想象不到吧？以上的計算還有簡易算法，由此我們便可得到下面的算式：

“1+3+3×3+3×3×3+3×3×3×3×3+3……”能不能如同我們之前運算數列“1+2+4+8……”似的很快求出最終的值呢？倘若大家明白這里合起來的數字存在下面這些特性，會立刻反應過來——原來還可以像以前那么運算：

3可以寫成1乘2加1；

9等于1與3之和與2相乘再加1；

27為1與3和9之和乘2再與1相加；

81是1與3和9及27之和乘2加上1；

……

總結一下：數列的各個數字都為一些具有某些規律的數字求和后與2相乘，再與1求和的結果。

很顯然，倘若是求自1至某個數字構成的數列總和，就以最末的數字與它的相加就行了（也就是從這個數里先減掉1）。

我們還是以實例加以說明：

1+3+9+27+81+243+729

=729+（729-1）÷2

=1 093

三

在這個故事中，得到信息的人僅將其所獲得的信息告知了其他3個人。倘若省城的市民愛交際又很善于言談的話，他們就不會把得到的信息只告訴另外3個人，而是5至10人，這么一來信息的流傳速度更驚人。假若每個人每次傳播給5個人，我們的運算結果就將變成如下的狀況：

8︰00僅一人掌握該信息；

8︰15就有6人（1+5=6）知道這條信息；

8︰30的時候有31人（6+5×5=31）得知了信息；

8︰45時有156人（31+25×5=156）掌握了該信息；

9︰00就有781人（156+125×5=781）知曉了這條消息；

9︰15知道這條消息的人就是3 906人（781+625×5=3 906）了；

9︰30便有19 531人（3 906+3 125×5=19 531）掌握了這條信息。

以此速度流傳的話，這條消息不到9:45就會在這座有50 000人的省城人人皆知。

若是得到該信息的人把它講給10個人聽，那樣一來流傳的速度只會更快。于是我們就該采用下面的數列來運算了：

8︰00僅外鄉人知道；

8︰15就有11人（1+10=11）了解這條信息了；

8︰30知道消息的人就有111人（11+100=111）；

8︰45可就有1 111人（111+1 000=1 111）獲知了該消息；

9︰00的時候11 111人（1 111+10 000=11 111）獲悉了這個信息。

顯然，如此運算下去的話，那么下一個數字就該是111 111了對吧？這一運算值足以證明在9︰00過一點兒的時候這條消息就已經是滿城皆知了。這充分說明，消息能在一個小時左右流傳至省城大街小巷的每個角落（圖32）。