3．翻轉內外空間

到目前為止，我們只討論了各種曲面的拓撲屬性，也就是說，只涉及二維的亞空間。不過，就我們自己身處的三維空間，顯然也可以提出類似的問題。比如說，從地圖上色問題拓展到三維空間，就可以這樣表述：如果我們要用不同材質、不同形狀的碎片來建造一幅“空間鑲嵌畫”，同時希望任何兩塊相同材質的碎片表面互不接觸，至少需要用多少種不同的材料？

討論上色問題時，球面或是環形表面在三維空間中的對應物又是什么？我們能否想到一些特殊的三維空間，它們和我們這個普通空間的關系，就如同球面或環形表面與普通平面的關系一樣？這個問題初看上去毫無意義。實際上，盡管我們很容易想象出各種形狀的面，但是一涉及三維空間，我們就傾向于認為只有一種類型，那就是我們身處其中、對它再熟悉不過的物理空間。不過這種觀點實為一種危險的錯覺，我們只要稍稍激發自己的想象力，就會得出一個和課本里的歐幾里得幾何學截然不同的三維空間。

想象這種奇特的空間有一個困難之處：我們自己就是三維生物，只能“從內部”觀看這個空間，而不能像在研究各種奇特的面時“從外部”觀察。但是，只要動動腦筋，做個思維體操，我們就能輕松地征服這些奇特的空間。

首先，我們試著建立一個三維空間的模型。它的屬性應當和球面類似。當然，球面沒有固定的邊界，但它的表面積是有限的；只要繞上一圈，就可以自我封閉。那么，我們能否想象一種以同樣的方式自我封閉、擁有確定的體積，卻沒有固定邊界的三維空間呢？

不妨想象兩個被自身球面限制住的球體，就好像蘋果的果肉被自己的果皮限制住一樣。

現在，這兩個球體“透過彼此”，在外表面合為一體。當然，我并不是說兩個球體可以像蘋果那樣，相互擠壓穿過彼此，直到它們的外表面黏合在一起。蘋果哪怕被擠碎，也沒有辦法相互穿透。

圖18 蘋果內部蟲蛀出來的復雜通道。

更好的辦法，是想象蘋果里面被蟲蛀出了許多條錯綜復雜的通道。現在有兩只蟲子，一黑一白，誰也不喜歡對方，因此，盡管它們在蘋果皮上的起點緊挨在一起，但它們在蘋果內部蛀出的通道永遠也不會相交。假設這兩條蟲子同時蛀咬了一個蘋果，那么這個蘋果最后看上去就會像圖18里的一樣，兩條緊密交織在一起的通道，填滿了蘋果的整個內部空間。不過，雖然黑白兩條通道緊貼在一起，但要從其中一條迷宮進入到另一條，還是要先回到蘋果表面上，這是唯一的路徑。如果通道越來越細，數量越來越多，那么最終可以想象到，蘋果內部會有兩條彼此纏繞又相互獨立的空間，它們僅通過共同的表面彼此相連。

如果你討厭蟲子，那么可以想一想，在紐約世界博覽會那座巨型圓形場館的內部，有兩套由走廊和樓梯構成的封閉系統。每個樓梯系統都貫穿了整個球體內部，但是要從一套系統走到另一套系統，哪怕是在相鄰的位置，唯一的辦法就是穿過整個場館來到外面，到達兩套系統交匯之處，然后再沿另一套樓梯系統返回。這兩個球體相互交疊，但互不干擾，你的一個朋友可能位于離你很近的位置，但是想要看見他，和他握個手，你可能得走上相當長的距離！需要留意的是，這兩套樓梯系統的連接點和空間里的其他任何點也許沒有什么不同，因為我們隨時都可以把整個系統的結構進行變形，這樣一來，原先的連接點就會被擠到內側，而原先在內側的某個點就會被拉到表面。我們這套模型的第二個重要特征是，盡管所有通道的總長度加起來是有限的，但是永遠沒有“死胡同”。你可以在走廊和樓梯間不停地走動，不會被任何圍墻和柵欄阻擋，而且只要你走得足夠遠，就會發現自己最終不可避免地又會回到原點。從外面觀察整個結構，人們可以說，在這個迷宮里行走的人最終都會回到他們出發的位置，僅僅是因為這條通道漸漸地繞成了一圈，但是對于身處其中的人來說，他們甚至不知道有“外部”這種東西的存在，所以這個空間對他們而言，大小有限，卻沒有標志性的邊界。我們會在下一章看到，這種沒有明顯的邊界，卻又不是無限大的“自我封閉的三維空間”可以很好地幫助我們探索宇宙的普遍屬性。實際上，科學家們發現，在望遠鏡所能觀測到的最遠處，空間似乎已經開始彎折，明顯地呈現出回轉且自我封閉的屬性，就像上面的例子中蘋果內部被蟲蛀出的通道一樣。但是，在討論這些激動人心的問題之前，我們必須先來了解一下空間的其他屬性。

蘋果和蟲子的故事還在繼續。我們接下來要問一個問題：有沒有可能把一個蟲蛀的蘋果變成一個甜甜圈？哦，別誤解，我的意思不是要把它的口味變成甜甜圈，只是要讓它看起來像甜甜圈的形狀。我們討論的是幾何學，不是烹飪手藝。現在準備一個此前討論過的“雙重蘋果”，也就是兩個“透過彼此”并且沿表皮“黏合在一起”的新鮮蘋果。假設蟲子已在其中一個蘋果內部吃出了一條寬闊的圓形通道，如圖19所示。請注意，通道位于其中一個蘋果內部，因此，通道外的每一點都是同屬于“雙重蘋果”的雙重點，而通道內只剩下沒被蟲蛀的那個蘋果的果肉。現在，我們的“雙重蘋果”擁有了一個由通道內壁構成的自由面（圖19a）。

圖19 如何把蟲蛀的“雙重蘋果”變成好吃的甜甜圈？不需要魔法，只要用拓撲學！

你能改變這個蟲蛀蘋果的形狀，把它變成一個甜甜圈嗎？當然可以，不過得假定這個蘋果的材質相當可塑，你可以用任何方式塑造它，但是絕對不能把它弄破。為了方便操作，我們也可以把蘋果先切開，在完成所需的變形之后，再把它給粘回去。

第一步操作是從粘住的表皮位置，把“雙重蘋果”拆開，讓它成為兩個獨立的蘋果（圖19b）。我們可以用數字I和I′來標記這兩個表面，這樣可以在接下來的操作中跟蹤它們的位置，完成前再把它們重新粘回原位。現在，橫著切開蟲蛀過的通道，這樣切面就會穿過通道的橫截面（圖19c）。這步操作得到了兩個新的表面，我們用II、II′和III、III′來分別標記上下切面，以便此后準確地知道該把它們粘回到哪里。這個步驟會把通道的自由面露出來，它最終會構成甜甜圈的自由面。現在，我們把切好的部分按圖19d所示的方式拉伸。自由面被拉得很長（不過根據我們的假設，材質完全可以承受這種拉伸），與此同時，切面I、II和III的尺寸縮得很小。在操作“雙重蘋果”里被蟲蛀的蘋果時，我們還必須縮小另一個蘋果，把它壓縮成櫻桃大小的尺寸。接下來，我們就可以把之前的切面粘回去了。第一步很簡單，將面III和III′再度連接起來，從而得到圖19e所示的形狀。接著，把縮小的蘋果放在前一步得到的“鉗子”中間，和“鉗子”兩端粘合在一起——標有I′的球面和表面I粘在一起，而切面II和II相互貼緊。這樣一來，我們就得到了一個光滑可口的甜甜圈。

話說回來，我們做這一切的意義到底是什么呢？

——沒有任何意義，就是讓你鍛煉一下自己的幾何想象力。做一做思維體操，有助于你理解一些不尋常的東西，比如彎曲的空間和封閉的空間。

如果你想繼續放飛自己的想象力，我們還可以對上述思考做一些“實際應用”。

你的身體里也有甜甜圈的結構，盡管你可能從未意識到這一點。其實，每個生命體在發育的早期（胚胎階段）都會經歷一個“原腸胚”期，這個階段的胚胎呈球形，還有一條寬闊的通道從內部穿過。食物會從通道的一端攝入，在機體吸收營養之后，剩下的再從另一端排出。在完全發育的有機體中，內部通道會變得更細也更復雜，但它的工作原理沒有改變，幾何屬性也和此前一樣，是甜甜圈的形狀。

好吧，既然你是個甜甜圈，那么就按照圖19的方法做一個反向的變形，試著讓你的身體（當然是在想象中！）變成一個內嵌通道的“雙重蘋果”吧！你會發現，身體的不同部位彼此重疊在一起，形成“雙重蘋果”的果肉，而包括地球、月亮、太陽和星星在內的整個宇宙，都會被擠壓到你體內的環形通道中！

你也可以試著將這幅畫面描繪出來。如果畫得好，或許就連薩爾瓦多·達利（Salvador Dali）本人也會承認你在超現實主義繪畫上的成就！（圖20）

圖20 內外翻轉的宇宙。這幅超現實主義畫作表現了一個在地表行走、抬頭仰望星空的人。它根據圖19展示的方法進行了拓撲變換，這樣一來，地球、太陽和星體都被壓進了一個相對狹窄的通道，而這個通道就位于人體內部，被各個內臟所環繞。

這一節講了很多內容，但此刻我們還不能結束討論。最后這部分，我們再來談談左手性和右手性的物體，以及它們和空間普遍屬性的關系。想要說清這個問題，最好的方法就是拿一雙手套出來，比較左右兩只手套（圖21），你會發現，它們在各項測量數據上完全一致，同時又有巨大的差異——因為你無法把左手套戴到右手上，反過來也不行！你可以任意翻轉扭扯，但是右手套還是右手套，左手套還是左手套。不只是手套，在鞋子、方向盤裝置（美國和英國的駕駛位置差異）、高爾夫球桿等各種物品上，我們都可以看到左手性和右手性的明顯區別。

圖21 右手性和左手性物體看起來一模一樣，又差異巨大。

另一方面，像帽子、網球拍之類的東西就不存在左右手性的差別。沒有人會笨到向商店訂購一打左手用的茶杯，或是向鄰居借一把左撇子用的活動扳手，如果有，也肯定是惡作劇。那么，有無手性的物體到底有什么區別呢？稍加思索，你就會發現，像帽子或茶杯這樣的物體都有一個對稱面，沿著這個平面，我們可以把它們分割成相同的兩半。而這樣的對稱面在手套或鞋子上根本找不到，無論你怎么努力，都沒法把手套分割成兩個完全相同的部分。如果物體不具有對稱面，或是說不對稱，那么它就注定會有兩種不同的形態——一種是右手性的，一種是左手性的。這種差異不僅會出現在手套、高爾夫球桿等人造物品上，而且在自然界中也經常出現。比如說，有兩種蝸牛，它們在其他方面完全一樣，但在“建造房子”的方式上卻完全相反：一種蝸牛的外殼呈順時針螺旋，而另一種則呈逆時針螺旋。即使是分子，即構成所有物質的微小粒子，也常具有左右手性的形態，這一點和戴在左右手上的手套或是順時針和逆時針的蝸牛殼非常相似。當然，你不能用肉眼看到分子，但這種不對稱性會表現在物質的晶體形態和光學屬性上。例如有兩種不同的糖，一種是右旋糖，一種是左旋糖，此外還有兩種以糖為食的細菌，不管你信不信，但是據說每一種細菌都只吃它對應的那種糖。

我們上面說過，想要把像手套這樣的右手性物體變成左手性的，似乎不大可能。但事實真是這樣嗎？換句話說，人們可不可以想象出一個能夠實現這一點的魔法空間來呢？要回答這個問題，不妨站在二維居民的角度來思考一下，這樣一來，我們就可以從更高的三維視角來觀察他們。舉個例子，圖22里居住著幾個平面居民，他們生活的空間只有兩個維度。我們可以把手里拿著一大串葡萄的人稱作“正面人”，因為他只有“正面”，沒有“側面”。這個動物則是一頭“側面驢”，更確切地說，是“右側面驢”。當然了，我們也可以畫一頭“左側面驢”，由于這兩類驢子都被困在平面上，所以從二維視角來看它們是不一樣的，就像在我們的空間里，左右手套是不一樣的。你不可能把“左驢”疊放在“右驢”身上，因為要把它們的鼻子和尾巴都疊在一起，你就必須得把其中一頭驢子的頭和腳顛倒位置，這樣它就會四腳朝天，沒辦法穩穩地站在地上了。

圖22 有一種生活在平面上的二維“影子生物”。這種二維生物不太“實用”。這個男人只有一張正臉卻沒有側面，也不能把他手里拿的葡萄塞進嘴里。驢子倒是可以吃到葡萄，但它只能向右走，如果往左的話，就只能倒著走。這對驢子來說或許不稀奇，但總歸是不方便的。

然而，如果你把一頭驢子從平面上拿出來，把它在空中轉一圈再放回去，兩頭驢子就會變得一模一樣。同理，我們可以說，把一只右手套從我們的空間里拿出來，在第四個維度上以適當的方式進行旋轉，然后再把它放回到我們的空間中，它就變成了一只左手套。可是，既然我們的物理空間沒有第四維，那么上述的方法必然也無法實現。難道就沒有其他的方法了嗎？

好吧，讓我們再回到二維世界。不過我們這次不是像圖22那樣，思考一個普通的平面，而是要來研究“莫比烏斯面”的屬性。這種特殊的面得名于一百多年前的德國數學家莫比烏斯（M?bius）。制作莫比烏斯面非常簡單，只需要將一張普通的長紙條彎成一個環形，在兩端粘上之前，將其中一端扭轉180度即可。圖23會告訴你制作它的方法。莫比烏斯面有許多奇特的屬性，其中一個很容易發現。你可以用一把剪刀沿著平行于紙條邊緣的中心線（沿著圖23里的箭頭線）剪一圈。這么做的時候，你肯定會以為能把這個面剪成兩個獨立的圓環，可你一旦試過以后，就會發現這個猜測是錯的：根本沒有出現兩個環，只有一個長度是原來兩倍，寬度是原來一半的細環！現在我們來看看，一頭“影子驢”在莫比烏斯面上行走時會發生什么。假設它從位置1（圖23）出發（這時它還是一頭“左側面驢”），一直往前走，從圖中可以清楚地看到，它分別經過了2和3兩個位置，最終靠近了自己的出發點。但是，此刻的你和它肯定都會大吃一驚，因為這頭驢子陷入了一個尷尬的處境（位置4）——它竟然四腳朝天，倒了過來！當然，它可以翻轉一下，讓自己的腿回到地面上來，但是這樣一來，朝向我們的就是它的右側臉了。

圖23 莫比烏斯面和克萊因瓶。

簡而言之，在莫比烏斯面上走完一圈后，我們的“左側面驢”就變成了“右側面驢”。而且你會注意到，盡管驢子一直待在這個面上，沒有被我們從平面上拿出來在空間里轉一圈，但是這種情況還是發生了！因此，我們會發現，在一個扭曲的面上，右手性的物體可以變成左手性的，反之亦然——只需讓它繞著扭曲的面轉上一圈就可以。實際上，莫比烏斯紙條是一種更普遍意義的曲面的一部分，我們把這種曲面稱為克萊因瓶（圖23中右圖所示）。它只有一個面，而且自身是封閉的，沒有明晰的邊界。如果這種面在二維空間里是可能的，那么在我們的三維空間中也一定可以找到類似的，當然，前提是要以適當的方式對當下這個空間進行扭曲。想象空間中的莫比烏斯扭曲的確不容易。我們不能像觀察驢子所在的平面一樣，從外部觀察我們的空間：當你身處其中時，總是很難看清楚事物的樣子。但是，天文空間其實完全有可能是自身封閉，且以莫比烏斯的方式扭曲的。

如果事情真的是這樣，那么環游宇宙的旅行者在回到地球時，就會從右撇子變成左撇子，心臟也會跑到右側的胸腔。手套和鞋子的制造商們則會有一個算不上好消息的好消息，那就是他們可以簡化生產，只生產一種手套和鞋子，然后把其中的一半運到宇宙中去，變成另一只手或腳需要的那只。

在這些奇思妙想中，我們有關奇特空間的奇特屬性的討論也到此為止了。