2．不必測(cè)量的幾何學(xué)

想必學(xué)生時(shí)代的幾何學(xué)給你留下了難忘的記憶：幾何學(xué)是一門測(cè)量空間的學(xué)問[1]，這個(gè)學(xué)科中有大量的定理，描述了各種距離和角度之間的數(shù)值關(guān)系（例如，著名的畢達(dá)哥拉斯定理，它研究的就是直角三角形三條邊的關(guān)系）。實(shí)際上，想要研究空間最基本的屬性，根本用不著測(cè)量任何長(zhǎng)度或角度，人們將探討這些問題的幾何學(xué)分支稱為拓?fù)鋵W(xué)（analysis situs或topology）[2]，它是數(shù)學(xué)中最有挑戰(zhàn)，也是最難的一個(gè)領(lǐng)域。

圖13 一個(gè)球體經(jīng)過切割變形成為一個(gè)多面體。

我們來看一個(gè)典型的拓?fù)鋵W(xué)問題。想象一個(gè)封閉的幾何面（比如說球面）被許多條線段分割成了無數(shù)個(gè)獨(dú)立區(qū)域。要畫出這樣一個(gè)圖形，我們可以在球面上找出任意數(shù)量的點(diǎn)，用彼此不相交的線段把這些點(diǎn)連接起來（如圖13）。現(xiàn)在的問題是，初始點(diǎn)的數(shù)量、相鄰區(qū)域的邊界線數(shù)量、劃分出來的區(qū)域數(shù)量——這三者之間到底有著怎樣的關(guān)系？

首先，不難看出，如果我們把這個(gè)球壓扁，比如變成像南瓜這樣的扁平物體，或是像黃瓜那樣拉長(zhǎng)的形狀，圖形里點(diǎn)、線和區(qū)域的數(shù)量是不會(huì)發(fā)生變化的。實(shí)際上，我們可以拿一個(gè)橡皮球，任意改變它的形狀（比如拉伸、擠壓或是做任何變形），只要你讓它保持封閉的表面，不把它割開或是撕破，那么我們的推斷和結(jié)論就不會(huì)發(fā)生一丁點(diǎn)兒改變。這和幾何學(xué)中常見的數(shù)值關(guān)系（比如線段長(zhǎng)度、面積和體積間的關(guān)系等）形成了鮮明的對(duì)比。如果我們把一個(gè)立方體拉伸成一個(gè)平行六面體，或是把一個(gè)球體壓成一個(gè)薄餅，這些數(shù)值關(guān)系就會(huì)發(fā)生很大變化。

圖14 五種正多面體（只存在這五種）和一個(gè)不規(guī)則的畸形多面體。

我們已經(jīng)將這個(gè)球體分割成了若干個(gè)獨(dú)立區(qū)域，接下來，再把每個(gè)區(qū)域壓平整，這樣原先的球體就成了一個(gè)多面體。之前區(qū)域間的邊界線成了多面體的棱線，而之前的點(diǎn)就變成了它的頂點(diǎn)。

現(xiàn)在，之前的問題被重新定義成了一個(gè)新的問題（實(shí)質(zhì)沒有發(fā)生改變）：任意類型的多面體里，頂點(diǎn)、棱和面之間具有的數(shù)量關(guān)系。

圖14向我們展示了五個(gè)正多面體（每一個(gè)面上都有同樣數(shù)量的棱和頂點(diǎn)），還有一個(gè)隨手畫出來的不規(guī)則多面體。

我們可以計(jì)算出每個(gè)幾何體里，頂點(diǎn)的數(shù)量、棱的數(shù)量和面的數(shù)量。如果它們之間確實(shí)存在數(shù)量關(guān)系，這種關(guān)系又該如何描述？

我們把直接數(shù)出來的數(shù)據(jù)填入下列表格。乍看之下，這三列數(shù)據(jù)（V、E、F）之間似乎沒有什么特定的關(guān)系，不過稍加研究，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)每一行V和F的數(shù)值之和總是等于E加上2。因此，我們可以寫出如下的數(shù)學(xué)等式：

V+F=E+2

這一等式是只適用于圖14中五種多面體，還是對(duì)所有多面體都適用？如果你試著畫幾個(gè)和圖14里不一樣的多面體，數(shù)出它們的頂點(diǎn)、棱和面的數(shù)量，就會(huì)發(fā)現(xiàn)上述等式適用于每種情況。顯然，V+F=E+2是拓?fù)鋵W(xué)中一個(gè)通用的數(shù)學(xué)定理，因?yàn)檫@個(gè)等式不需要測(cè)量出棱的長(zhǎng)短、面的大小，它只關(guān)注不同的幾何單元（也就是頂點(diǎn)、棱和面）的數(shù)量屬性。

我們剛剛發(fā)現(xiàn)的多面體頂點(diǎn)、棱和面之間的數(shù)量關(guān)系，最早是由17世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes）留意到的。后來另一位數(shù)學(xué)天才萊昂納德·歐拉則給出了這個(gè)定理的嚴(yán)格證明，因此這個(gè)定理也被稱為“歐拉定理”（Euler's theorem）。

以下是多面體歐拉定理的完整證明，引自R．柯朗（R. Courant）與H．羅賓（H.Robbins）合著的《什么是數(shù)學(xué)》一書[3]，我們來看看這類證明是如何進(jìn)行的：

“為了證明歐拉的公式，我們先要把一個(gè)給定的簡(jiǎn)單多面體想象成空心的，表面是拿薄橡膠制成的（圖15a）。接下來，如果剪去這個(gè)空心多面體的其中一面，就可以把剩下的面展開，平鋪到一個(gè)平面上（圖15b）。在這個(gè)過程中，多面體的表面積和棱之間的夾角會(huì)發(fā)生改變，但是，頂點(diǎn)和棱的個(gè)數(shù)仍然和之前保持一致。但是別忘了，面的數(shù)量比原來少了一個(gè)，因?yàn)槲覀儎倓偧舻袅艘粋€(gè)面。現(xiàn)在，我們來證明，對(duì)于這個(gè)平面圖形，V-E+F=1，這樣，如果把剪掉的面計(jì)算在內(nèi)，原來的多面體就會(huì)滿足歐拉定理：V-E+F=2。

“首先，我們采用下面的方法，給平面上的圖形做‘三角形處理’：找出還不是三角形的多邊形，給它們畫出一條對(duì)角線。這樣做會(huì)使E和F都增加1，因而不會(huì)改變V-E+F的值。現(xiàn)在繼續(xù)連接頂點(diǎn)，作對(duì)角線，直到平面圖形里全部都是三角形——最終必然如此（圖15c）。在整個(gè)平面圖形里，V-E+F的值與‘三角形處理’之前完全相等，因?yàn)楫嬌蠈?duì)角線不會(huì)讓它發(fā)生改變。

“現(xiàn)在，有部分三角形的邊位于圖形邊緣，其中有些三角形（如ABC）只有一條邊落在邊緣，有些則會(huì)有兩條邊落在邊緣。對(duì)于這部分三角形，我們?nèi)サ羲c其他三角形不交接的部分（圖15d）。例如，我們從ABC中去掉邊AC和它的面，留下A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)，以及AB、BC兩條邊；從DEF中去掉它的面、兩條邊DF和FE，以及頂點(diǎn)F。

圖15 歐拉定理的證明。圖上畫的是立方體，不過上述結(jié)論對(duì)任何多面體都適用。

“去掉ABC這類三角形，E和F會(huì)各減少1，而V不受影響，所以V-E+F保持不變。去掉DEF這類三角形，V和F各減少1, E減少2，所以V-E+F也不會(huì)變。按照恰當(dāng)?shù)捻樞虿僮鳎覀兙涂梢砸来稳サ羲形挥谶吘壍娜切危ㄟ吘壱矔?huì)隨之不斷發(fā)生改變），直到最后剩下一個(gè)三角形。它有3條邊、3個(gè)頂點(diǎn)和1個(gè)面，對(duì)這個(gè)簡(jiǎn)單圖形來說，V-E+F=3-3+1=1。我們已經(jīng)看到，不斷地消去三角形，不會(huì)改變V-E+F的值，所以，最初的平面圖形上，V-E+F也必定等于1；消去了一個(gè)面的多面體上，這個(gè)值也等于1。由此，我們得出結(jié)論，完整的多面體滿足V-E+F=2。這就完全證明了歐拉的公式。”

此外，歐拉定理還有一個(gè)有趣的推論，那就是只存在五種正多面體，也就是圖14中畫出的那五種。

不過，如果你認(rèn)真閱讀了上述幾頁(yè)的討論，或許會(huì)留意到，我們?cè)诶L制“各種不同類型”的多面體示意圖（如圖14所示）時(shí)，還有在進(jìn)行歐拉定理的數(shù)學(xué)推導(dǎo)時(shí)，有一個(gè)隱含的假設(shè)，這導(dǎo)致我們?cè)谶x擇多面體時(shí)具有相當(dāng)大的局限性。我們只選了那些上面沒有任何穿孔的多面體，當(dāng)我們?cè)谡f“穿孔”的時(shí)候，不是指橡皮球上漏氣的小孔，而是像甜甜圈或是橡膠輪胎中間那樣的孔。

看一下圖16，你就會(huì)弄清上面所說的含義。我們?cè)趫D上看到兩種不同的幾何體，和圖14一樣，它們同樣是多面體。

圖16 兩個(gè)“另類”立方體，內(nèi)部分別有一個(gè)洞和兩個(gè)洞。它們的表面也不是嚴(yán)格意義上的矩形，但正如我們前文所說，這在拓?fù)鋵W(xué)里并不重要。

現(xiàn)在我們來看看歐拉定理是否適用于這兩個(gè)新的多面體。

第一種情況下，我們可以數(shù)出共有16個(gè)頂點(diǎn)、32條棱和16個(gè)面，因此V+F=32，而E+2=34。而第二種情況下，共有28個(gè)頂點(diǎn)，46條棱和30個(gè)面，因此V+F=58，而E+2=48。又錯(cuò)了！

為什么會(huì)這樣？我們上面給出的具有普遍意義的歐拉定理證明為何會(huì)在這里失效呢？

問題顯而易見。我們上面考慮的多面體都可以視為足球內(nèi)膽或氣球，但是新的空心多面體更像是輪胎或更加復(fù)雜的橡膠工業(yè)制品。對(duì)于后一類多面體，上面的數(shù)學(xué)證明是不適用的，因?yàn)閷?duì)于這類多面體，我們?cè)谧C明過程中的操作步驟根本無法落實(shí)。我們之前說過，需要“剪去這個(gè)空心多面體的其中一面，就可以把剩下的面展開，平鋪到一個(gè)平面上”。如果你拿一個(gè)足球內(nèi)膽，用剪刀在它表面剪掉一部分，那么很容易實(shí)現(xiàn)這個(gè)操作。但是一個(gè)輪胎，不論你多么努力，根本沒法成功做出這一步。如果只是看一下圖16還不足以讓你確信這一點(diǎn)，那就不妨找一個(gè)舊輪胎來試試吧！

不過，不要以為較復(fù)雜多面體的V、E、F之間不存在關(guān)系。三者確實(shí)有關(guān)系，卻是不同于一般歐拉定理的關(guān)系。對(duì)于甜甜圈形狀的多面體，更準(zhǔn)確地說，環(huán)形多面體，有V+F=E；對(duì)于“椒鹽餅”[4]形狀的多面體，則有V+F=E-2。更通用的表達(dá)式是V+F=E+2-2N，其中N是孔的數(shù)量。

另一個(gè)和歐拉定理密切相關(guān)的典型拓?fù)鋵W(xué)問題，叫作“四色問題”。假設(shè)有一個(gè)球面被細(xì)分為了若干個(gè)獨(dú)立的區(qū)域，我們現(xiàn)在要給這些區(qū)域上色，讓相鄰的兩個(gè)區(qū)域（即擁有共同邊界的區(qū)域）顏色各不相同。想要完成這樣的任務(wù)，我們至少需要使用多少種不同的顏色？很明顯，一般來說只有兩種顏色是不夠的，因?yàn)楫?dāng)三個(gè)州的邊界集中在一點(diǎn)時(shí)（例如圖17中，美國(guó)地圖上的弗吉尼亞州、西弗吉尼亞州和馬里蘭州），我們就需要用不同的顏色來表示這三個(gè)州。

我們也不難找出，在另一個(gè)例子中（德國(guó)吞并奧地利時(shí)期的瑞士）有必要使用四種顏色（圖17）[5]。

但是，不管你怎么努力，無論是在地球儀上，還是在一張平鋪的紙上，永遠(yuǎn)都無法繪制出一張需要四種顏色以上的地圖[6]。如此看來，不論我們把地圖畫得多么復(fù)雜，四種顏色足以避開邊界上的混亂。

圖17 馬里蘭州、弗吉尼亞州和西弗吉尼亞州（左圖）以及瑞士、法國(guó)、德國(guó)和意大利（右圖）的拓?fù)涞貓D。

如果最后這個(gè)結(jié)論是正確的，那么我們應(yīng)該可以用數(shù)學(xué)方法來證明它。可惜，經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家的努力，這個(gè)結(jié)論迄今還沒有得到證明。在此，我們?cè)僖淮斡龅揭粋€(gè)實(shí)際上無人懷疑，但也無法證明的經(jīng)典數(shù)學(xué)命題。如今，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明，五種顏色肯定是足夠的，這也是目前已有的最好結(jié)果。證明過程中也用到了歐拉定理，計(jì)算出了相鄰國(guó)家的數(shù)量、邊界線的數(shù)量，以及多個(gè)國(guó)家交界處三重、四重交點(diǎn)的數(shù)量。

因?yàn)樯鲜鲎C明過于復(fù)雜，會(huì)使我們偏離討論的主題，所以在此就不再詳述。有興趣的讀者們可以在眾多拓?fù)鋵W(xué)主題的書籍中找到它，在思考中度過一個(gè)愉快的夜晚（或者是一個(gè)不眠之夜）。如果有誰(shuí)能夠證明出來，不但五種顏色夠用，就連四種顏色也足夠給任何地圖上色，或是懷疑這個(gè)命題的正確性，畫出一張四種顏色不夠用的地圖——只要成功做到其中任意一條，他的名字就會(huì)永載理論數(shù)學(xué)的史冊(cè)。

諷刺的是，雖然球面或平面上的“四色問題”還沒有成功解決，但是在更復(fù)雜的面（如甜甜圈或椒鹽卷餅）上，數(shù)學(xué)家卻早已找出了相對(duì)簡(jiǎn)單的證明方法。例如，人們已經(jīng)證明，只要有七種不同的顏色，就可以在甜甜圈上畫出相鄰區(qū)域顏色各不相同的地圖來，而且已有圖例表明，確實(shí)有需要用到七種顏色的情況。

要是哪位讀者朋友愿意“燒腦”一試，不妨找一個(gè)充氣輪胎，還有一套七彩顏料，試一試給輪胎的表面涂色，畫一個(gè)顏色和其他六個(gè)不同顏色相臨的區(qū)域。完成之后，你就可以自稱“玩轉(zhuǎn)甜甜圈”了。