第三章 空間的奇特屬性

1．維度與坐標

人人都知道空間是什么。但是，如果讓我們給“空間”下一個準確的定義，不少人大概會不知所措。我們或許會說，空間就是圍繞著我們的事物，我們可以在其中前后、左右、上下移動。三個彼此獨立、相互垂直的獨立方向，是我們身居其中的物理空間最基本的屬性之一?？臻g里的任何位置，都可以通過這三個方向表示。假如我們到一個陌生的城市旅游，去酒店前臺咨詢某家知名公司的辦公位置，店員可能會這樣回答：“向南走5個街區，再向右走2個街區，上7樓。”剛才提到的三個數字，就是我們通常熟知的坐標，在這個例子里，它們指的是城市街道、建筑樓層與酒店大堂這個起點之間的關系。不過，顯而易見的是，通過坐標系，我們可以給出從任意一點到達一個確定的目的地的方向，坐標系能夠準確地表示出起點和目的地之間的關系，而且，只要我們知道新坐標系相對于舊坐標系的位置，我們可以通過簡單的數學運算表示出新的坐標系，這個過程被稱為坐標變換。還需補充一點，我們不一定非要用表示距離的數字來表示所有三個方向上的坐標，其實，某些情況下，角坐標也許還更方便一些。

舉個例子，常常以“某某街”“某某大道”來標記地址的紐約市，最適合用直角坐標系來表示。然而，俄羅斯莫斯科的地址系統轉換成極坐標顯然更加適合。莫斯科這座古老的城市圍繞著克里姆林宮的中心城堡，沿著徑向散發的街道和同心的環形林蔭大道向外延伸出去，這樣一來，說“某棟房子距離克里姆林宮城墻西北偏北方向20個街區”就再自然不過了。

應用直角坐標系和極坐標系的經典案例，是位于華盛頓特區的海軍總部大樓和戰爭部門所在的五角大樓。二戰期間從事過戰爭相關工作的人，對這兩幢建筑應該都不陌生。

圖12中，我們給出了幾個示例，表明可以用三種不同的坐標系來描述空間中某個點的位置，其中有些坐標表示距離，有些表示角度。但是，無論選擇哪種坐標系，我們都需要三個數字才能確定一個方位，因為我們這里討論的是三維空間。

圖12 三種坐標系所描述出的空間中某個點的位置，其中有的表示距離，有的表示角度。

對于我們這些擁有三維空間觀念的生物來說，想象三維之上的超空間確實有些困難（我們會在后面看到，這樣的空間是存在的）。不過，想象維度小于三的子空間卻輕而易舉。平面、球面，或是其他類型的面，都是只有兩個維度的子空間，因為只用兩個數字就可以確定面上任意一點的位置。以此類推，線（無論是直線還是曲線）是一維空間，線上的任何位置只用一個數字就能描述。我們還可以說，一個單獨的點就是一個零維空間，因為一個點里根本不存在兩個不同的位置。但是，又有誰會對點這種東西感興趣呢？

人類作為三維生物，可以“從外面觀察”線和面，因此，要理解它們的幾何屬性，比理解我們置身其間的三維空間屬性要簡單得多。這就是為什么你可以毫無障礙地理解什么是曲線或曲面，但如果說一個三維空間也可以是彎曲的，你或許會一臉詫異。

不過，只要稍加練習，理解了“曲率”這個詞的真正含義，你就會發現“彎曲的三維空間”這樣的概念其實非常簡單。到了下一章的結尾，你甚至可以（我們希望如此?。┱務摗皬澢乃木S空間”這個乍聽上去讓人望而卻步的概念。

不過，在此之前，我們還是先聊聊普通的三維空間、二維平面和一維線條，來一場思維體操訓練吧！