第四章 四維世界

1．時(shí)間即第四維

“第四維空間”這個(gè)概念通常既神秘莫測又令人疑惑。我們這些只有長度、寬度、高度的生物，怎么敢對(duì)四維空間妄加談?wù)摚坑梦覀冞@些三維的大腦，有可能想象出四維的超空間嗎？四維的立方體或球體又會(huì)是什么樣？當(dāng)我們“想象”一條拖著鱗光閃閃的長尾巴，鼻里噴出烈焰的巨龍時(shí)，或是“想象”一架內(nèi)部配備游泳池，機(jī)翼上裝有網(wǎng)球場的超豪華飛機(jī)時(shí)，其實(shí)是在頭腦里描繪了一幅心理圖畫，畫面上是這些事物突然出現(xiàn)在自己面前的樣子。而這幅圖的背景仍是我們熟悉的三維空間，包括你我在內(nèi)的所有人和事，全都置身于這個(gè)背景當(dāng)中。如果以上就是“想象”一詞的含義，那么想要在普通的三維空間背景中想象一個(gè)四維的形象，就像是把一個(gè)三維物體壓進(jìn)平面一樣，根本做不到。不過，先別著急下結(jié)論。某種意義上，我們確實(shí)可以把一個(gè)三維物體壓進(jìn)平面里，那就是把它畫到平面當(dāng)中。不過在這種情況下，我們當(dāng)然不是依靠液壓機(jī)或物理上的作用力來完成這項(xiàng)工作，而是采用了幾何“投影”或影子構(gòu)造的方法。看看圖24，你就能立刻明白這兩種方式（比如說把一匹馬壓進(jìn)二維空間）的區(qū)別了。

出于同樣的道理，我們現(xiàn)在可以說，把一個(gè)四維物體完完全全地“壓”進(jìn)三維空間確實(shí)無法實(shí)現(xiàn)，肯定會(huì)有些枝杈留在外面，不過，我們倒是可以談?wù)摳鞣N四維物體在我們這個(gè)三維空間里的“投影”。需要記住的是，就像三維物體在平面上的投影是二維的，四維物體在我們空間中的投影也只能呈現(xiàn)出三個(gè)維度。

圖24 把三維物體“壓”進(jìn)二維空間的方法。左圖：不可行；右圖：可行。

為了更清楚地理解這個(gè)問題，我們先來想一想，一個(gè)生活在平面上的二維影子生物會(huì)怎樣構(gòu)想三維立方體的概念。這對(duì)我們來說非常容易，因?yàn)槲覀兪浅蕉S存在的三維生物，可以從上面（也就是第三個(gè)方向上）觀察整個(gè)二維世界。此前我們說過，要把一個(gè)立方體“壓”進(jìn)平面，唯一的辦法就是把它像圖25上展示的那樣，“投射”到平面上。立方體在旋轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)在平面上呈現(xiàn)出不同的投影：通過觀看這些投影，我們的二維朋友至少能對(duì)“三維立方體”這個(gè)神秘圖形的屬性有一些基本的認(rèn)知。他們沒有辦法“躍出”自己的平面，用我們的方式來觀看這些立方體。但只要仔細(xì)觀察投影，他們也能得出類似“這個(gè)立方體有8個(gè)頂點(diǎn)、12條邊”的結(jié)論。現(xiàn)在再來看圖26，你會(huì)發(fā)現(xiàn)人類在遇到四維物體時(shí)，和可憐的二維影子生物觀察普通立方體投影時(shí)的情形完全一樣。圖上滿臉驚詫的一家人正在認(rèn)真研究的奇特復(fù)雜結(jié)構(gòu)，就是四維空間里的超立方體在三維空間里的投影[7]。

圖25 二維生物驚訝地看著投射到它們世界里的三維立方體的影子。

仔細(xì)觀察圖26，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，圖25中令影子生物感到困惑的某些特征，同樣出現(xiàn)在這張圖里：立方體在平面上的投影由兩個(gè)嵌套的四邊形組成，它們的頂點(diǎn)兩兩相連；而超立方體在我們空間中的投影也是由兩個(gè)嵌套的立方體組成，二者的頂點(diǎn)也以類似的方式相連。數(shù)一數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)超立方體總共有16個(gè)頂點(diǎn)， 32條棱和24個(gè)面，真是個(gè)神奇的物體。

圖26 來自四維空間的訪客！一個(gè)四維超立方體的正面投影。

下面我們?cè)賮砜纯此木S球體是什么樣子的。先來看一個(gè)大家熟悉的例子，即普通球體在平面上的投影。打比方說，我們把一個(gè)上面標(biāo)著大陸、海洋的透明地球儀投影在白墻上（圖27）。投影中兩個(gè)半球自然會(huì)相互重疊，如果單從投影上看，觀察者可能會(huì)認(rèn)為從紐約（美國）到北京（中國）的距離很近。但這只是一種直覺，實(shí)際上，投影上的每一個(gè)點(diǎn)都代表著實(shí)際球體上相對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)。如果地球儀上有一架從紐約飛往中國的客機(jī)，那么在平面投影中，它會(huì)一直移動(dòng)到圖形的邊緣，然后再移動(dòng)回來；如果兩架客機(jī)的投影在平面上相互重疊，只要它們“實(shí)際”位于地球儀的不同面上，就不會(huì)發(fā)生碰撞。

圖27 地球儀的平面投影。

這就是普通球體的平面投影屬性。只要我們稍作想象，就可以輕松拓展到四維超球體的空間投影上。普通球體的平面投影是兩個(gè)疊放在一起（點(diǎn)對(duì)點(diǎn)）的圓盤，二者僅沿著外圈的圓周連接在一起；那么，超球體的空間投影必然可以被想象成兩個(gè)相互穿透的球體，而且它們會(huì)沿著外表面連接在一起。實(shí)際上，這種奇特的構(gòu)造我們已經(jīng)在上一章中討論過了，當(dāng)時(shí)是在找一個(gè)類似于封閉球面的封閉三維空間例子。因此，我們?cè)谶@里只要補(bǔ)充一句就足夠了：四維球體的三維投影就是我們此前討論過的，像連體雙胞胎的“雙重蘋果”——它由兩個(gè)沿著表皮生長在一起的蘋果組成的。

通過類似的類比方式，我們還可以回答許多有關(guān)四維圖形屬性的問題。不過，無論我們多么努力或許都無法“想象”，我們這個(gè)物理空間里還有第四個(gè)獨(dú)立的方向。

但是，只要稍加思索，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)根本不需要把第四個(gè)方向想象得那么神秘。我們大多數(shù)人每天都在使用的一個(gè)詞，就可以用來指代，而且實(shí)際上也應(yīng)該被視作物理世界里的第四個(gè)獨(dú)立方向：那就是時(shí)間。它常常和空間一起，用來描述我們周圍發(fā)生的事件。無論是在街上和朋友偶遇，還是談?wù)撨b遠(yuǎn)恒星的爆炸，我們?cè)诹挠钪胬锏娜魏问虑闀r(shí)，通常既會(huì)說發(fā)生的位置，也會(huì)說發(fā)生的時(shí)間。因此，除了用三個(gè)方向要素表示我們的空間位置之外，又增加了一個(gè)新的要素，那就是時(shí)間。

進(jìn)一步思考這個(gè)問題，你會(huì)很容易意識(shí)到，每一個(gè)物體都有四個(gè)維度，其中三個(gè)是空間維度，還有一個(gè)是時(shí)間維度。你所住的房子會(huì)在長度、寬度、高度和時(shí)間上這四個(gè)維度上延伸，而我們衡量時(shí)間之維的方法，是從房子建成之日開始計(jì)起，一直到它最后被燒毀、被公司拆掉或因年久失修而倒塌的那個(gè)時(shí)間點(diǎn)為止。

當(dāng)然，時(shí)間之維與三個(gè)空間維度不盡相同。時(shí)間的間隔是用時(shí)鐘來測量的，嘀嗒嘀嗒表示秒，叮咚叮咚表示小時(shí)，而空間的間隔則是用尺子來度量的。我們可以用同一把尺子來測量長、寬、高，但是沒法把尺子變成時(shí)鐘來測量時(shí)間的長短。此外，你可以在空間上向前走、向右走、向上走，然后再走回來，但是你不能在時(shí)間里回頭，它會(huì)把你從過去強(qiáng)行拉向未來。不過，盡管時(shí)間之維和空間的三個(gè)維度存在如此差異，我們?nèi)匀豢梢园褧r(shí)間當(dāng)作是物理世界中的第四個(gè)方向，只要多加留意，記得它們并非完全相同即可。

把時(shí)間選為第四個(gè)維度之后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，本章開頭所說的“想象四維物體”這件事簡單多了。你還記得四維超立方體的那個(gè)奇怪投影嗎？它竟然有16個(gè)頂點(diǎn)，32條棱，24條邊！難怪圖26里的一家人都在驚詫地盯著這個(gè)幾何怪物。

不過，如果以新的視角來看，這個(gè)四維立方體就是存在于特定時(shí)間段的一個(gè)普通立方體而已。假如你在5月7日用12根金屬絲做了一個(gè)立方體，一個(gè)月后又把它給拆掉了，這樣一個(gè)立方體的每個(gè)頂點(diǎn)就可以看成是一條沿著時(shí)間方向延伸、長度等于一個(gè)月的線。你可以在每個(gè)頂點(diǎn)上貼一本小日歷，每天翻一頁，記錄時(shí)間的流逝。

圖28 用12根金屬絲連接5月7日，形成一個(gè)立方體。

現(xiàn)在不難數(shù)出四維物體中有多少條棱。它在誕生時(shí)有12條空間棱，存在過程中有8條“時(shí)間棱”表示每個(gè)頂點(diǎn)的持續(xù)時(shí)間，在被拆掉前又有12條空間棱，共計(jì)32條。[8]用類似的方法，我們可以數(shù)出它一共有16個(gè)頂點(diǎn)——5月7日有8個(gè)空間頂點(diǎn)，6月7日還是8個(gè)空間頂點(diǎn)。要計(jì)算出四維物體有多少個(gè)面也不難，這個(gè)問題就留給各位讀者們吧。做這個(gè)練習(xí)時(shí)需要牢記一點(diǎn)，其中一些面是立方體自身具有的普通正方形，而其他的面則是由立方體的棱從5月7日到6月7日，在時(shí)間維度上延伸出來的“半空間半時(shí)間”的面。

我們此處討論的四維立方體的屬性，當(dāng)然也適用于任何其他幾何體，或是任何有形的物體，無論它是生命體還是非生命體。

特別值得一提的是，你也可以把自己看成是一個(gè)四維物體。在時(shí)間之維上，你就像是一根長長的橡膠棒，從出生的那一刻開始，一直延伸到自然壽命的盡頭。遺憾的是，人們無法在紙上畫出四維的東西，所以在圖29中，我們?cè)囍远S影子人為例，在垂直于二維平面的方向上，畫出時(shí)間的第三維，由此傳達(dá)出類似的觀念。這張圖只是影子人生命的一小部分。他的整段人生應(yīng)該用一根更長的橡膠棒來表示：橡膠棒的開端（代表他的嬰兒時(shí)期）是比較細(xì)的，然后，橡膠棒不停地扭動(dòng)著延伸出去（代表他漫長的生命過程），直到死亡的那一刻保持在一個(gè)恒定的形狀（因?yàn)樗廊耸遣粫?huì)動(dòng)的），最后再開始解體。

更準(zhǔn)確地說，這個(gè)四維橡膠棒其實(shí)是由許多獨(dú)立的纖維組成的，每一根纖維又是由獨(dú)立的原子組成的。在生命的歷程中，這些纖維大多是作為整體聚合在一起，只有少數(shù)會(huì)脫落，比如頭發(fā)或指甲被剪掉的時(shí)候。由于原子是不滅的，人體死后的分解其實(shí)可以被看作是獨(dú)立的纖維細(xì)絲向各個(gè)方向分散出去的過程（構(gòu)成骨骼的纖維可能是個(gè)例外）。

圖29 四維空間中影子人生命的一小部分。

如果我們使用四維時(shí)空幾何學(xué)的語言，那么每個(gè)物質(zhì)粒子的歷史線就叫作它的“世界線”。同樣的思路，由一組世界線組成的復(fù)合體就叫作“世界帶”。

圖30 太陽、地球以及彗星各自的世界線。

圖30中，我們舉了一個(gè)天文學(xué)的例子，展現(xiàn)了太陽、地球以及一顆彗星各自的世界線[9]。和之前影子人的例子一樣，我們選取了一個(gè)二維空間（圖中的平面是地球公轉(zhuǎn)軌道）和垂直于它的時(shí)間軸。圖中太陽的世界線用一條平行于時(shí)間軸的直線來表示，這是因?yàn)槲覀儼烟栆暈椴粍?dòng)的參照系[10]。地球的公轉(zhuǎn)軌道非常接近圓形，所以地球的世界線是一根繞著太陽線上升的螺旋線，而彗星的世界線一度很接近太陽線，隨后又遠(yuǎn)離了它。

以四維時(shí)空幾何學(xué)的視角，宇宙的形態(tài)及其歷史融合成了一幅和諧的圖景，而我們所要考察的，就是一束纏繞在一起，各自代表著每個(gè)原子、每個(gè)動(dòng)物或是每個(gè)星體的世界線。