工作任務(wù)二 平面壁上靜水總壓力的計(jì)算

水利工程中，常需要計(jì)算作用在建筑物上的靜水總壓力，而建筑物的受壓面有平面和曲面之分。例如大壩的壩面、水池的池壁、平板閘門等為平面壁，弧形閘門、拱壩壩面、閘墩及邊墩等為曲面壁。兩類受壓面所受的總壓力的計(jì)算方法是不同的，本工作任務(wù)介紹平面壁上靜水總壓力的計(jì)算方法。

平面壁又分為矩形平面和任意平面，其中矩形平面可用圖解法計(jì)算靜水總壓力，任意平面可用解析法計(jì)算靜水總壓力。

一、矩形平面壁上靜水總壓力的圖解法

圖解法的使用條件是矩形平面表示寬度的一邊必須平行水面，否則不能應(yīng)用。

圖解法計(jì)算靜水總壓力的思路為：先繪制靜水壓強(qiáng)分布圖，再根據(jù)公式確定靜水總壓力的大小、方向、作用點(diǎn)。

（一）靜水壓強(qiáng)分布圖

在水利工程中表面壓強(qiáng)多為大氣壓，由靜水壓強(qiáng)基本公式p=γh可知，靜水壓強(qiáng)p與水深h呈線性函數(shù)關(guān)系，把受壓面上壓強(qiáng)與水深的這種函數(shù)關(guān)系表示成幾何圖形，即靜水壓強(qiáng)分布圖。

繪制靜水壓強(qiáng)分布圖的具體做法為：

（1）用公式p=γh來(lái)確定水中任一點(diǎn)壓強(qiáng)的大小，用一定的比例線段代表該點(diǎn)靜水壓強(qiáng)的大小。

（2）根據(jù)靜水壓強(qiáng)的特性確定其方向，用箭頭表示靜水壓強(qiáng)的方向，必須垂直并指向受壓面。

（3）連接上下線段的尾部構(gòu)成幾何圖形，即為受壓面上的靜水壓強(qiáng)分布圖。

【例題1-5】繪制矩形閘門AB平面的靜水壓強(qiáng)分布圖，如圖1-14所示。

解：首先確定A、B兩點(diǎn)靜水壓強(qiáng)的大小，p_A=0，p_B=γH；再畫(huà)線段，A點(diǎn)的長(zhǎng)度為0，B點(diǎn)靜水壓強(qiáng)方向是垂直并指向AB面，靜水壓強(qiáng)大小為p_B=γH；連接A、B兩點(diǎn)線段的尾端A、C；標(biāo)注B點(diǎn)線段所表示的壓強(qiáng)數(shù)值γH，p_A=0可不必標(biāo)注；最后，在圖形內(nèi)部畫(huà)若干帶箭頭的線條表示各點(diǎn)的壓強(qiáng)大小及方向。

圖1-15是工程中有代表性受壓面的相對(duì)壓強(qiáng)分布圖。

對(duì)于建筑物上、下游都受水壓力的情況，靜水壓強(qiáng)分布圖可以疊加。圖1-15（b）為上下游靜水壓強(qiáng)沒(méi)有疊加，圖1-15（e）則為上下游靜水壓強(qiáng)進(jìn)行了疊加。

（二）靜水總壓力計(jì)算

計(jì)算靜水總壓力包括確定靜水總壓力的大小、方向和作用點(diǎn)。

1.靜水總壓力的大小

靜水總壓力一般用P表示。如圖1-16所示為一任意斜置的矩形平板閘門AB，閘門寬度方向與水面平行。閘門長(zhǎng)度為 l，寬度為b，A點(diǎn)的水深為h₁，B點(diǎn)的水深為h₂。在水面下任一深度h處取微小面積dA，dA=bdy，因微小面積dA上各點(diǎn)的壓強(qiáng)均為p，則微小面積dA上的靜水壓力為dP=pbdy。所以，整個(gè)受壓面上的靜水總壓力為：

由于是壓強(qiáng)分布圖面積Ω，即整個(gè)矩形面積所受的靜水總壓力等于壓強(qiáng)分布圖面積Ω乘以受壓面寬度b，即

P=Ωb

當(dāng)壓強(qiáng)分布圖為梯形時(shí)，靜水總壓力為：

當(dāng)壓強(qiáng)分布圖為三角形時(shí)，靜水總壓力為：

2.靜水總壓力的方向

靜水總壓強(qiáng)的方向總是垂直并指向受壓面，因此靜水總壓力的方向必然垂直并指向受壓面。

3.靜水總壓力作用點(diǎn)

靜水總壓力的作用點(diǎn)可根據(jù)合力矩定理來(lái)確定。總壓力P作用點(diǎn)應(yīng)在受壓面的縱向?qū)ΨQ軸0—0上，同時(shí)，總壓力P的作用線必然通過(guò)壓強(qiáng)分布圖的形心O。靜水總壓力的位置用壓力中心 D至受壓面底邊緣的距離e表示，由壓強(qiáng)分布圖的面積特性可知：

對(duì)梯形分布圖：

對(duì)三角形分布圖：

式中 h₁、h₂——受壓面上、下邊緣的水深；

l——受壓面長(zhǎng)度。

4.沿水深等寬的矩形受壓平面靜水總壓力的圖解步驟

（1）繪制靜水壓強(qiáng)分布圖。

（2）計(jì)算靜水壓強(qiáng)分布圖的面積Ω。

（3）計(jì)算靜水總壓力的大小P=Ωb。

（4）確定壓力中心的位置e。

【例題1-6】圖1-17所示為一渠道上設(shè)置的水平閘門，已知閘門寬b=4m，閘門在水深H=2.5m條件下工作。試求：

（1）當(dāng)閘門鉛直放置時(shí)所受的靜水總壓力是多少?

（2）當(dāng)閘門斜放α=60°時(shí)受到的靜水總壓力又是多少?

解：（1）當(dāng)閘門鉛直放置時(shí)。

壓強(qiáng)分布圖面積：

靜水總壓力大小：P=Ωb=30.63×4=122.5（kN）

靜水總壓力方向：垂直指向受壓面。

靜水總壓力作用點(diǎn)：

（2）當(dāng)閘門斜放α=60°時(shí)。

壓強(qiáng)分布圖面積：

靜水總壓力大小：P=Ωb=35.36×4=141.46（kN）

靜水總壓力方向：

靜水總壓力作用點(diǎn)：

二、任意平面上的靜水總壓力的解析法

如圖1-18所示為傾斜放置于水中的任意形狀的受壓面EF，該受壓面與水平面的夾角為α，面積為A，形心點(diǎn)位C。

為便于分析，取坐標(biāo)平面xoy與受壓面EF重合，ox軸垂直于紙面，oy軸沿平面EF方向，將ox軸繞oy軸旋轉(zhuǎn)90°，就可以將受壓面EF轉(zhuǎn)展在紙面上。

1.靜水總壓力的大小

在受壓面EF上M點(diǎn)任取微小面積dA，該微小面積dA處的水深為h，因?yàn)閐A極小，可認(rèn)為dA上各點(diǎn)壓強(qiáng)都等于γh，則dA上的靜水總壓力為：

dP=pdA=γhdA

整個(gè)受壓面上的靜水總壓力為：

由工程力學(xué)可知，為EF面對(duì)ox軸的面積矩，其值等于平面EF的面積A與其形心坐標(biāo)y_C的乘積，因此

式中 h_C——平面EF的形心C點(diǎn)處的水深；

p_C——形心C點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)。

上式表明：任意形狀平面壁上所受靜水總壓力的大小，等于受壓面形心點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)與受壓平面面積的乘積。

2.靜水總壓力的方向

靜水總壓力的方向垂直并指向受壓面。

3.靜水總壓力作用點(diǎn)

設(shè)靜水總壓力的作用點(diǎn)為D點(diǎn)，其坐標(biāo)為（x_D，y_D），確定D點(diǎn)的位置，即求解其坐標(biāo)值x_D、y_D。

水利工程中的受壓面常為具有縱向?qū)ΨQ軸的對(duì)稱平面，靜水總壓力的作用點(diǎn)必位于對(duì)稱軸上，所以一般無(wú)需計(jì)算x_D，只需計(jì)算靜水總壓力作用點(diǎn)的縱向坐標(biāo)y_D即可。

利用理論力學(xué)中的合力矩定理，即合力對(duì)任一軸的力矩等于各分力對(duì)該軸力矩的代數(shù)和，首先對(duì)ox軸求力矩：

上式中，表示平面EF對(duì)ox軸的慣性矩。

根據(jù)慣性矩的平行移軸定理可得：

I_ox=I_C+y²_CA

式中 I_C——面積A對(duì)通過(guò)其形心且與ox軸平行的軸的慣性矩；

y_C——受壓面形心點(diǎn)C至ox軸的距離。

由于，故一般情況下y_D&gt；y_C，即作用點(diǎn)在受壓面形心以下。只有當(dāng)受壓面水平時(shí)，D點(diǎn)才會(huì)與C點(diǎn)重合。

計(jì)算常見(jiàn)平面壁靜水總壓力及其作用點(diǎn)位置時(shí)，可參閱表1-1。

【例題1-7】如圖1-19所示，在渠道側(cè)壁上，開(kāi)有圓形放水孔，放水孔直徑d=1m，孔頂至水面深度h=2m，試求放水孔閘門上的靜水總壓力。

解：本題屬任意形狀平面壁上靜水總壓力計(jì)算。

靜水總壓力的大小：

靜水總壓力的方向：垂直指向受壓面。

靜水總壓力的作用點(diǎn)：

所以，靜水總壓力的作用點(diǎn)與水面距離為2.53m。

【例題1-8】設(shè)有一鉛直放置的水平底邊矩形閘門，如圖1-20所示。已知閘門高度H=2m，寬度b=4m，閘門上緣到水面的距離為h₁=1m。試分別用圖解法和解析法求解作用于閘門的靜水總壓力。

解：（1）圖解法。

繪制靜水壓強(qiáng)分布圖ABFE，如圖1-20所示。則靜水總壓力大小為：

靜水總壓力的方向：垂直指向閘門平面。

靜水總壓力的作用點(diǎn)：

所以，靜水總壓力作用點(diǎn)距離閘門底部的距離為0.83m，其距離水面的距離為2.17m。

（2）解析法。

解析法計(jì)算靜水總壓力公式為：

靜水總壓力的方向：垂直指向閘門平面。

靜水總壓力的作用點(diǎn)：

所以，靜水總壓力作用點(diǎn)距離水面的距離為2.17m。