工作任務(wù)一 靜水壓強(qiáng)與靜水壓力相關(guān)概念引入

一、靜水壓力和靜水壓強(qiáng)

（一）定義

圖1-1所示為一公路路堤涵洞前設(shè)置的平板閘門，當(dāng)開啟閘門時(shí)需要很大的拉力，這是因?yàn)殚l門承受了其四周水的壓力。靜止液體對(duì)其接觸面所作用的全部壓力稱為靜水總壓力，或簡(jiǎn)稱靜水壓力。靜水壓力常用字母P來表示。靜水壓力和其他力一樣，具有大小、方向、作用點(diǎn)三要素。

在圖1-1所示平板閘門上任一點(diǎn)K取微小面積ΔA，作用于ΔA面積上的靜水總壓力為ΔP，在ΔA上各處，其單位面積所受的壓力是不相等的，但平均而言，ΔA上的單位面積所受靜水壓力為：

p就是反映受壓面ΔA上靜水壓強(qiáng)的平均值，稱為平均靜水壓強(qiáng)。

當(dāng)ΔA無限縮小并趨于一點(diǎn)時(shí)，把比值的極限定義為該點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)，用字母p表示，即

在國際單位制中，靜水壓力的單位是牛頓（N）或千牛（kN），靜水壓強(qiáng)的單位是N/m²或kN/m²，又稱帕（Pa）或千帕（kPa），1N/m²=1Pa。

（二）靜水壓強(qiáng)的特性

靜水壓強(qiáng)有兩個(gè)重要特性。

（1）靜水壓強(qiáng)方向的垂直性。靜水壓強(qiáng)的方向垂直并指向受壓面。

證明：在靜止液體中取出一塊液體，用N—N面將其分割成Ⅰ、Ⅱ兩部分，如圖1-2（a）所示。在分割面上存在Ⅰ、Ⅱ兩部分液體之間的相互作用力，現(xiàn)以Ⅱ部分為隔離體來進(jìn)行分析。

假如分割面上任一點(diǎn)K處的靜水壓強(qiáng)p任意作用在分割面上，則p可以分解為切向分量p_τ和法向分量p_n。但靜止液體不能承受剪切和拉力，如果切向分量p_τ存在，則將使Ⅰ、Ⅱ部分發(fā)生剪切變形，從而破壞液體的靜止平衡狀態(tài)。若法向分量p_n存在，則Ⅰ、Ⅱ兩部分存在拉力，液體的靜止平衡狀態(tài)也將遭到破壞。所以，p只能垂直并指向受壓面。

（2）靜水壓強(qiáng)大小的等值性。靜止液體中任何一點(diǎn)各個(gè)方向的靜水壓強(qiáng)的大小均相等，與作用面的方位無關(guān)。

證明：如圖1-3所示，取位于平衡液體中的一微小四面體oabc為研究對(duì)象，為便于分析，令四面體的三條棱邊oa、ob、oc相互垂直，并分別與x、y、z軸重合，其長(zhǎng)度分別為dx、dy、dz；傾斜面abc為任意方向，面積為dA_n。

下面對(duì)微小四面體進(jìn)行受力分析。作用在微小四面體上的力有表面力和質(zhì)量力。表面力只有壓力，設(shè)作用于四面體的四個(gè)表面obc、oac、oab及abc上的平均靜水壓強(qiáng)分別為p_x、p_y、p_z、p_n。由于是微小四面體，可認(rèn)為各微小面上的水深是不變的，靜水壓強(qiáng)分布是均勻的，作用在各個(gè)面上的靜水壓力等于各自面上的壓強(qiáng)和相應(yīng)面積的乘積，即

dG_x=0

dG_y=0

由于液體處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以微小四面體在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上所受外力的合力應(yīng)等于0，即

式中，（n，x）、（n，y）、（n，z）分別表示斜面法向n與x、y、z軸的夾角，當(dāng)dx、dy、由此可以證明：

p_x=p_y=p_z=p_n

需要說明的是，靜水壓強(qiáng)的第二個(gè)特性僅僅指的是同一點(diǎn)只有一個(gè)壓強(qiáng)值，不同點(diǎn)的壓強(qiáng)一般是不相等的，靜水中各點(diǎn)的壓強(qiáng)大小僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，即

p=p（x，y，z）

（三）壓強(qiáng)的單位

1.應(yīng)力單位

應(yīng)力即單位面積上所受的力，這是壓強(qiáng)的基本表示方法，單位為N/m²，又稱Pa（帕）。1N/m²=1Pa，1kPa為10³N/m²，可記為1kN/m²。

2.工程大氣壓

在水利工程的水力計(jì)算中，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，常用工程大氣壓表示壓強(qiáng)，即

1工程大氣壓=98kPa

作用在微小四面體上質(zhì)量力僅有重力dG，微小四面體的體積為，重力。作用于微小四面體上的質(zhì)量力dG在各坐標(biāo)軸上的投影分別為：

dz向o點(diǎn)縮小而趨近于0時(shí)，屬三階無限小值，相對(duì)于前兩項(xiàng)可略去不計(jì)，則

3.水柱高度

由于水的容重γ為常數(shù)，在水利工程中還常用水柱高度作為壓強(qiáng)單位。

例如，1工程大氣壓=98kPa，如用水柱高表示，則為

即1工程大氣壓相當(dāng)于10m水柱。

另外，也可用水銀柱高表示壓強(qiáng)，因水銀容重為γ_m=133.3kN/m³，故有

即1工程大氣壓相當(dāng)于735mm水銀柱。

這里需要說明的是，1工程大氣壓=10m水柱=735mm水銀柱的表達(dá)方式是不對(duì)的。應(yīng)該說1工程大氣壓所產(chǎn)生的壓強(qiáng)相當(dāng)于10m水柱或735mm水銀柱所產(chǎn)生的壓強(qiáng)，而不能說1工程大氣壓=10m水柱或1工程大氣壓=735mm水銀柱。

（四）壓強(qiáng)的表示方法

計(jì)算壓強(qiáng)時(shí)，因起算基準(zhǔn)的不同，其值不同，可表示為絕對(duì)壓強(qiáng)與相對(duì)壓強(qiáng)。

1.絕對(duì)壓強(qiáng)

絕對(duì)壓強(qiáng)是以絕對(duì)真空狀態(tài)為起量點(diǎn)的壓強(qiáng)，用符號(hào)p_絕表示。在計(jì)算中，大氣壓常用p_a表示，常按p_a=98kPa計(jì)算。

2.相對(duì)壓強(qiáng)

相對(duì)壓強(qiáng)是以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽槠鹆奎c(diǎn)的壓強(qiáng)，用符號(hào)p_相表示。在水利工程中，很多建筑物表面和水面都受到大氣壓的作用，例如水閘閘門的上、下游受壓面均受大氣壓作用，為簡(jiǎn)化水力計(jì)算，兩側(cè)都可以不計(jì)入大氣壓，只計(jì)算液體壓強(qiáng)，這就是采用相對(duì)壓強(qiáng)。

3.真空壓強(qiáng)及真空高度

壓強(qiáng)小于大氣壓的情況，通常就稱為發(fā)生了真空。把絕對(duì)壓強(qiáng)小于大氣壓的那部分壓強(qiáng)稱為真空壓強(qiáng)，真空壓強(qiáng)用符號(hào)p_真表示。

真空值也可以用所相當(dāng)?shù)囊褐叨葋肀硎荆Q為真空高度，真空高度用符號(hào)h_真表示，。

各種壓強(qiáng)表示方法之間的關(guān)系可如圖1-4所示，也可用以下關(guān)系式表示：

二、靜水壓強(qiáng)的基本規(guī)律

（一）靜水壓強(qiáng)的基本方程推導(dǎo)

工程實(shí)際中經(jīng)常遇到的液體平衡問題是液體相對(duì)于地球沒有運(yùn)動(dòng)的靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)液體所受的質(zhì)量力僅限于重力。下面通過力學(xué)分析的方法，討論僅在重力作用下的靜水壓強(qiáng)變化規(guī)律。

如圖1-5（a）所示，在靜止液體中，選取位于水面下鉛直線上任意兩點(diǎn)1、2，欲研究1、2處壓強(qiáng)p₁和p₂間的關(guān)系。圍繞1、2兩點(diǎn)分別取微小面積ΔA，取以ΔA為底面積、Δh為高的鉛直小圓柱水體為脫離體，因ΔA是微小面積，可認(rèn)為其上各點(diǎn)的壓強(qiáng)是相等的。以下對(duì)脫離體進(jìn)行受力分析。

脫離體在鉛直方向上共受三個(gè)力，分別為：

圓柱上表面的靜水壓力：P₁=p₁ΔA

圓柱下表面的靜水壓力：P₂=p₂ΔA

脫離體的重力：G=γΔAΔh

因是靜止液體，鉛直方向合力必為0，取向上為正方向，列力的平衡方程得：

p₂ΔA-p₁ΔA-γΔAΔh=0

上式兩端各除以ΔA，則可變形為：

上式即為任意兩點(diǎn)靜水壓強(qiáng)的基本關(guān)系式。該公式表明：質(zhì)量力僅有重力作用的靜水中，任意兩點(diǎn)的壓強(qiáng)關(guān)系為，下面一點(diǎn)的壓強(qiáng)等于上面一點(diǎn)的壓強(qiáng)加上水容重與兩點(diǎn)之間的水深差的乘積。

如果把鉛直小圓柱體的上表面移至水面上，如圖1-5（b）所示，有h₁=0，h₂=h，p₁=p₀，p₂=p，式p₂=p₁+γΔh可變?yōu)椋?/p>

式（1-2）是常用的靜水壓強(qiáng)基本方程式。它表明：質(zhì)量力僅有重力作用下的靜水中，任一點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)等于水面壓強(qiáng)加上液體的容重與該點(diǎn)水深的乘積。

需要說明的是，當(dāng)液體表面壓強(qiáng)為大氣壓，即p₀=p_a時(shí)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，常取p₀=p_a=0，只計(jì)算液體產(chǎn)生的壓強(qiáng)，則靜水壓強(qiáng)方程式可寫為：

式（1-3）表明：在靜止液體中，任一點(diǎn)的壓強(qiáng)（相對(duì)壓強(qiáng)）與該點(diǎn)在水下淹沒深度呈線性關(guān)系。

靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律可采用物理學(xué)中取基準(zhǔn)面的方法，用另外一種表達(dá)形式。如圖1-5所示，選取基準(zhǔn)面0—0，靜水中任一點(diǎn)距0—0基準(zhǔn)面的高度，稱為該點(diǎn)的位置高度，式（1-1）中的Δh=z₁-z₂，將此代入式（1-1）可得：

p₂=p₁+γ（z₁-z₂）

式（1-4）是靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律的另一表達(dá)方式。該式表明：在靜止液體中，位置高度z越小，靜水壓強(qiáng)越大；位置高度z越大，靜水壓強(qiáng)越小。

（二）靜水壓強(qiáng)基本方程的意義

1.靜水壓強(qiáng)基本方程的幾何意義

在圖1-6所示的容器中，任取兩點(diǎn)1和2，并在該高度邊壁上開小孔且外接垂直向上的開口玻璃管，稱為測(cè)壓管。如容器中的液體僅受重力的作用，液面上為大氣壓，則無論連在哪一點(diǎn)上，測(cè)壓管內(nèi)的液面總是與容器內(nèi)液面齊平的。

容器內(nèi)1、2點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)為：

p₁=γh₁，p₂=γh₂

因此測(cè)壓管中液面上升的高度為：

測(cè)壓管液面到基準(zhǔn)面的高度由z和兩部分組成，z表示該點(diǎn)到基準(zhǔn)面的位置高度，表示該點(diǎn)壓強(qiáng)的液柱高度。在水力學(xué)中常用“水頭”代表高度，所以z又稱位置水頭，又稱壓強(qiáng)水頭，則稱為測(cè)壓管水頭。重力作用下的靜止液體內(nèi)，各點(diǎn)測(cè)壓管水頭相等，即

C值的大小取決于基準(zhǔn)面的選取，基準(zhǔn)面選定后，C值即可確定。這種用幾何尺寸來表征靜水壓強(qiáng)方程式的意義，就是靜水壓強(qiáng)基本方程的幾何意義。

2.靜水壓強(qiáng)方程式的物理意義

在圖1-6中的容器中，圍繞1點(diǎn)取質(zhì)量為dm的液體，則該液體的位置勢(shì)能為dmgz₁；1點(diǎn)的壓強(qiáng)為p₁，在該處安置測(cè)壓管后，在壓力的作用下，液面會(huì)上升的高度為，也就是把壓強(qiáng)勢(shì)能轉(zhuǎn)變?yōu)槲恢脛?shì)能。對(duì)于重量為dmg、壓強(qiáng)為p₁的液體，在測(cè)壓管中上升后，位置勢(shì)能的增量就是原來液體具有的壓強(qiáng)勢(shì)能。則位于1點(diǎn)的液體所具有的總勢(shì)能為：

單位重量的液體所具有的勢(shì)能為：

式中 z₁——1點(diǎn)處單位重量的液體所具有的位置勢(shì)能，簡(jiǎn)稱單位位能；

——1點(diǎn)處單位重量的液體所具有的壓強(qiáng)勢(shì)能，簡(jiǎn)稱單位壓能；

——單位勢(shì)能。

水靜力學(xué)基本方程表明：僅在重力作用下的靜止液體內(nèi)各點(diǎn)單位重量液體所具有的勢(shì)能相等，即

【例題1-1】求水庫中水深為5m處的靜水壓強(qiáng)，要求分別用相對(duì)壓強(qiáng)和絕對(duì)壓強(qiáng)表示。

解：用式（1-2）計(jì)算靜水壓強(qiáng)。

采用相對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算時(shí)，不計(jì)入大氣壓，則：p₀=p_a=0

水庫水深5m處的相對(duì)壓強(qiáng)：p_相=γh=9.8×5=49（kPa）

采用絕對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算時(shí)，計(jì)入大氣壓，則：p₀=p_a=98（kPa）

水庫水深5m處的絕對(duì)壓強(qiáng)：p_絕=98+9.8×5=147（kPa）

可見，相對(duì)壓強(qiáng)的計(jì)算要比絕對(duì)壓強(qiáng)的計(jì)算簡(jiǎn)單些。

【例題1-2】有一封閉水箱如圖1-7所示，若水箱內(nèi)水面上的相對(duì)壓強(qiáng)p₀=-39.2kN/m²，水箱右側(cè)測(cè)壓管與大氣相同。試求h值，并求水面下1m處M點(diǎn)的壓強(qiáng)及M點(diǎn)相對(duì)于基準(zhǔn)面0—0的測(cè)壓管水頭。要求M點(diǎn)的壓強(qiáng)要分別以絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空壓強(qiáng)、真空高度表示。

解：（1）計(jì)算h值。

過右側(cè)測(cè)壓管水面畫1—1水平面，測(cè)壓管水面處為大氣壓，以相對(duì)壓強(qiáng)表示則為零。根據(jù)等壓面原理，得：

p₀+γh=0

則

（2）計(jì)算M點(diǎn)的壓強(qiáng)。

p_M相=p₀+γh=-39.2+9.8×1=-29.4（kPa）

p_M絕=p_M相+98=-29.4+98=68.6（kPa）

p_M真=-p_M相=29.4（kPa）

（3）M點(diǎn)的測(cè)壓管水頭。

欲求M點(diǎn)相對(duì)于基準(zhǔn)面0—0的測(cè)壓管水頭，有z_M=-1m，M點(diǎn)測(cè)壓管水頭為：

三、靜水壓強(qiáng)的測(cè)算

在工程實(shí)際中，往往需要量測(cè)和計(jì)算液流中的點(diǎn)壓強(qiáng)或兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差（壓差）。量測(cè)壓強(qiáng)的儀器很多，在此只介紹一些利用水靜力學(xué)原理設(shè)計(jì)的液體測(cè)壓計(jì)。

（一）測(cè)壓管

最簡(jiǎn)單的測(cè)壓管如圖1-8所示，是一根直徑為8～10mm的直玻璃管。其一端與欲測(cè)壓強(qiáng)的測(cè)點(diǎn)相連，另一端敞口并與大氣相通。

測(cè)壓管中液柱的高度就是容器或管道上所接測(cè)點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng) p，p=γh，其中γ為測(cè)壓管內(nèi)液體的容重，h就是液柱的高度。

為了提高量測(cè)較小壓強(qiáng)值的精度，可將測(cè)壓管傾斜放置，如圖1-9所示。此時(shí)，液體長(zhǎng)度比液體高度放大一些，測(cè)壓管高度h=Lsinα，則A點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)為：

p=γh=γLsinα

另外，也可以用γ較小的輕質(zhì)液體（如汽油）來測(cè)量壓強(qiáng)，這樣測(cè)量相等的壓強(qiáng)可以獲得較大的測(cè)壓管高度，使測(cè)量精度更高。

（二）U形水銀測(cè)壓計(jì)

當(dāng)被測(cè)點(diǎn)的壓強(qiáng)較大時(shí)，測(cè)壓管高度會(huì)過大而帶來諸多不便，則可采用γ值較大的U形水銀測(cè)壓計(jì)，如圖1-10所示。

欲求被測(cè)點(diǎn)A的壓強(qiáng)，應(yīng)先找出U形管中的等壓面1—2，再對(duì)等壓面列靜水壓強(qiáng)方程，聯(lián)立求解便可求得p_A。

水和水銀的容重分別用γ和γ_m表示，用相對(duì)壓強(qiáng)列靜水壓強(qiáng)方程。

1點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)為：p₁=p_A+γb

2點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)為：p₂=γ_mh_m

因p₁=p₂，所以p_A+γb=γ_mh_m，即

p_A=γ_mh_m-γb

（三）比壓計(jì)（壓差計(jì)）

為量測(cè)兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差，可在兩斷面間連接比壓計(jì)，如圖1-11所示，比壓計(jì)又稱壓差計(jì)。比壓計(jì)一般不直接測(cè)出任意兩點(diǎn)的壓強(qiáng)大小，而是直接找出兩點(diǎn)間的壓差。壓差小時(shí)用空氣壓差計(jì)，如圖1-11（a）所示；壓差大時(shí)用水銀壓差計(jì)，如圖1-11（b）所示。一般空氣壓差計(jì)管內(nèi)的氣壓p₀≠p_a，因空氣的容重很小，計(jì)算中不考慮空氣柱的重量引起的壓強(qiáng)差，認(rèn)為空氣中各點(diǎn)的p₀都相等。壓差的求解思路仍是先找出等壓面，再列靜水壓強(qiáng)基本方程。

如圖1-11（a）所示是利用空氣壓差計(jì)來測(cè)定兩管道A、B兩點(diǎn)間的壓強(qiáng)差，左右兩側(cè)管內(nèi)液面1、2處的壓強(qiáng)均為p₀，可視為“等壓面”。

1點(diǎn)的壓強(qiáng)為：p₁=p₀=p_A-γa-γΔh

2點(diǎn)的壓強(qiáng)為：p₂=p₀=p_B-γa-γΔz

因p₁=p₂，所以p_A-γa-γΔh=p_B-γa-γΔz

則兩管道A、B兩點(diǎn)間的壓強(qiáng)差為：p_A-p_B=γ（Δh-Δz）

也就是說，對(duì)于空氣壓差計(jì)，只要測(cè)出左右支管中液體高差Δh及A、B兩點(diǎn)間的高差Δz，即可求出A、B兩點(diǎn)間的壓強(qiáng)差。

若采用水銀比壓計(jì)，如圖1-11（b）所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)處液體的容重為γ，水銀的容重為γ_m，根據(jù)連通器原理，1—2為等壓面。

1點(diǎn)的壓強(qiáng)為：p₁=p_A+γz_A+γΔh

2點(diǎn)的壓強(qiáng)為：p₂=p_B+γz_B+γ_mΔh

因p₁=p₂，所以p_A+γz_A+γΔh=p_B+γz_B+γ_mΔh

則兩管道A、B兩點(diǎn)間的壓強(qiáng)差為：p_A-p_B=（γ_m-γ）Δh+γΔz

【例題1-3】已知某容器（圖1-12）中A點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)為0.8個(gè)工程大氣壓，設(shè)在此高度上安裝測(cè)壓管，問至少需要多長(zhǎng)的玻璃管?如果改裝水銀測(cè)壓計(jì)，當(dāng)h′=0.2m時(shí)，水銀柱高度h_p是多少?

解：（1）按相對(duì)壓強(qiáng)，利用靜水壓強(qiáng)計(jì)算公式：

p_A=γh=9.8h=0.8×98（kPa）

所以，至少需要8m的玻璃管。

（2）根據(jù)連通器原理計(jì)算。

p_A+γh′=γ_mh_p

則

0.8×98+9.8×0.2=133.3h_p

【例題1-4】已知z=1m，h=2m，試?yán)脠D1-13所示裝置測(cè)量A點(diǎn)的壓強(qiáng)值，要求分別以絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空壓強(qiáng)、真空高度表示。

解：空氣壓差計(jì)中空氣各處壓強(qiáng)相等，即p₁=p₂。

1點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)為：p₁=p_A相-γz

2點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)為：p₂=0-γh

所以：p_A相-γz=0-γh

則 p_A相=γz-γh=9.8×（1-2）=-9.8（kPa）

p_A絕=-9.8+98=88.2（kPa）

p_A真=-p_A相=9.8（kPa）