工作任務四 恒定總流的動量方程
在一些水力學問題中，需要求解水流對邊界的作用力問題，如需確定水流對閘門、溢流壩、橋墩的作用力，輸水管中水流對管道的作用力，河道彎段中水流對凹岸的側向作用力，以及射流的沖擊力等。由于這些力處于急變流段，無法用能量方程求解，恒定總流的動量方程可解決此類問題。
一、公式推導
動量是指運動物體的質量與其速度的乘積。例如一運動物體的質量為m，速度為v，其動量等于mv。動量是既有大小也有方向的矢量，其方向與速度的方向相同。
動量定律可表述為：運動物體在單位時間內動量的變化量等于物體所受所有外力的合力。其數學表達式為：
式中
——作用在運動物體上所有外力的合力；
——物體受力后的運動速度；
——物體受力前的運動速度；
Δt——外力作用在物體上的時段長。
下面推導恒定總流的能量方程。
在恒定流中取出一水流段（1—2段）作為脫離體來研究，如圖2-17所示。該流段的水體在外力作用下，經過Δt時段后，從1—2位置移到了1′—2′位置。1′—2段水體在Δt時段內，雖然水流質點總是在變化，但因水流是不可壓縮、不能膨脹的連續介質恒定流，1′—2段的水體質量和該位置上各點流速都不會改變，因此1′—2段的動量沒有發生變化。則所研究脫離體經Δt時段的動量變化應該等于2—2′段和1—1′段的動量差。
圖2-17
考慮到過水斷面上各點的流速大小分布的不均勻性，在用過水斷面平均流速計算動量時，需乘以一個動量修正系數β加以修正。
2—2′段水體的實際動量為
，1—1′段水體的實際動量為
，1—2流段水流在Δt時段內的動量變化量為：
將上述動量的變化量代入動量定理表達式，可得：
上式即為恒定總流的動量方程，這是一個矢量方程，實際上常用三個坐標軸上的投影式來表示，即
∑Fx=ρQ（β2v2x-β1v1x）
∑Fy=ρQ（β2v2y-β1v1y）
∑Fz=ρQ（β2v2z-β1v1z）
式中 ∑Fx、∑Fy、∑Fz——所有外力在x、y、z軸方向的投影的代數和；
v1x、v2x——兩個過水斷面的平均流速在x軸上的投影；
v1y、v2y——兩個過水斷面的平均流速在y軸上的投影；
v1z、v2z——兩個過水斷面的平均流速在z軸上的投影；
β1、β2——兩個過水斷面的動量修正系數，一般取β1=β2=1.0。
二、動量方程的應用條件
動量方程在應用時，必須滿足以下條件：
（1）水流為恒定流，流量沿程不變。
（2）水流是連續的、不可壓縮的均質液體。
（3）脫離體兩端的斷面必須為漸變流斷面，但脫離體內部可以為急變流。
為了更好地利用動量方程解決實際問題，還需注意以下幾點：
（1）脫離體的選取。根據具體問題需求，選取包含已知條件和待求量的流段作為脫離體，但流段上、下游斷面必須為漸變流斷面。
（2）外力的分析。分析并標出作用在脫離體上的所有外力，一般作用在脫離體上的外力有三類：兩過水斷面上的動水壓力、脫離體的水重、除兩過水斷面以外的固體邊界作用于脫離體上的反力。
（3）坐標軸的選取。坐標軸原則上講可以任意選取，但應考慮到計算方便。把流速和各力投影到各坐標軸上，確定它們的大小和方向，并將其標注在受力分析圖上。
（4）動量增量的計算。計算動量增量時，一定是流出的動量減去流入的動量，切忌顛倒。
（5）動量修正系數β的選取。一般取β1=β2=1.0。
（6）動量方程只能求解一個未知數，若方程中有多個未知量時，多與連續性方程和能量方程聯合求解。
三、動量方程的應用
（一）水流對溢流壩面的水平總作用力
【例題2-6】矩形斷面河道中修建一溢流壩，如圖2-18所示。已知壩寬b=20m，過流量Q=180m3/s，上游水深H=9m，下游水深ht=3m。如不計摩擦阻力，試計算作用在壩面上動水總壓力的水平分力。
圖2-18
解：溢流壩壩面形狀為曲面，水流流經溢流壩面時，流線彎曲劇烈，作用在壩面上的動水壓力存在于上游面、壩頂和下游面三部分，比較復雜，其動水總壓力的水平分力只能用動量方程來求。
（1）取脫離體。在溢流壩上、下游的漸變流段分別取過水斷面1—1和2—2，將兩過水斷面之間的水體GABCDEF取出作為脫離體。
（2）選定坐標。選坐標xoy，并將坐標軸x平行于水平面，如圖2-18（b）所示。
（3）分析、計算脫離體上所受外力。不計摩擦阻力，作用在脫離體上的水平外力共有三個，分別為：作用在兩過水斷面上的動力壓力P1和P2，壩體對水流的反作用力R的水平分力Rx。其中，P1與x軸方向一致，取正號；P2與x軸方向相反，取負號；Rx與x軸方向相反，取負號。將所有外力及方向標注在圖2-18上。
作用在兩過水斷面上的動力壓力P1和P2大小可按靜水總壓力公式求得：
（4）列x軸方向的動量方程。
列脫離體GABCDEF的動量方程為：
∑Fx=P1-P2-Rx=ρQ（β2v2-β1v1）
用流量和過水斷面面積計算過水斷面1—1和2—2的平均流速為：
取β2=β1=1，則壩體對水流的反作用力R的水平分力Rx為：
Rx=P1-P2-ρQ（v2-v1）=7938-882-1×180×（3.0-1.0）=6696（kN）
水流對壩體作用力R′的水平分力R′x與壩體對水流反作用力的水平分力Rx大小相等、方向相反，則
R′x=6696kN
方向與x軸方向一致。
（二）水流對支座的軸向作用力
【例題2-7】水泵站壓力水管的漸變流段如圖2-19所示。已知直徑d1=2.0m、d2=1.0m，漸變段起點處壓強p1=343kN/m2，管中通過的流量Q=2.0m3/s，動能修正系數α=1.0，動量修正系數β=1.0。如不計漸變流段能量損失，試求漸變段支座承受的軸向力。
圖2-19
解：（1）取脫離體。取漸變流段起始斷面1—1和漸變流段出口斷面 2—2間的水體為脫離體進行研究。
（2）進行受力分析。脫離體在軸向只受到三個力的作用：兩個漸變流斷面上的動水總壓力P1、P2和管壁對水的軸向作用力Rx。
（3）選坐標軸。因只研究軸向力，僅選坐標軸x方向，如圖2-19所示。將各流速和各力均投影在x坐標軸上，力、流速與坐標軸方向相同時為正，與坐標方向相反時為負。
（4）列動量方程的投影式求解。
∑Fx=ρQβ（v2x-v1x）
又
∑Fx=P1-P2-Rx=p1A1-p2A2-Rx
則
p1A1-p2A2-Rx=ρQβ（v2x-v1x）
上式中，除p2和Rx外均已知，或可求得，但一個方程不能求解出兩個未知數，需與其他方程聯合求解。
（5）列能量方程求斷面2—2的動水壓強。以管軸為基準面，取管軸線上的點為代表點，列斷面1—1和斷面2—2的能量方程。因不計漸變流段能量損失，且z1=z2=0，能量方程可寫為：
又
則
（6）計算管壁對水的軸向作用力Rx。將p2=339.96kN/m2及其他已知量代入公式
p1A1-p2A2-Rx=ρQβ（v2x-v1x）
得
（7）漸變段支座承受的軸向力與Rx大小相等，方向相反。
（三）射流對固定平板的沖擊力
1.作用在固定平板的沖擊力
【例題2-8】水流由管道末端的噴嘴水平射出，沖擊到鉛垂的固定板，水流沿板面向四周散開，轉了一個90°的方向，如圖2-20所示。若射流的流量為Q，不計空氣阻力及水頭損失，求射流對固定板的作用力。
解：在射流轉向以前取過水斷面1—1，與射流完全轉向后取過水斷面2—2，以斷面1—1和斷面2—2之間的水體為脫離體，以水平向右作為x軸的正方向。
分析脫離體所受的外力：由于射流的周界及轉向后的水流表面都在大氣中，可認為斷面1—1和斷面2—2的動水壓強等于大氣壓強，即p1=p2=0；射流方向為水平方向，可不考慮重力作用，所以，只有平板對水流的反力R，其方向水平向左，取負號。
圖2-20
列x軸方向的動量方程，有
∑Fx=-R=ρQ（β2v2x-β1v1x）
因為不計水頭損失，由能量方程可知v1=v2。流速在x軸的投影v1x=v1，v2x=0。取β1=β2=1.0，則
R=ρQv1
因為計算的結果為正值，說明假定方向就是實際方向。射流作用在固定板上的沖擊力R′=R，方向與R相反。
2.作用在固定凹面板上的沖擊力
如果射流沖擊的是一塊如圖2-21所示的垂直固定凹面板，射流沖擊凹面板后散開時轉了一個θ角度。取射流轉向以前的過水斷面1—1及射流完全轉向以后的過水斷面2—2之間的水體為脫離體，列x軸方向的動量方程，有
∑Fx=-R=ρQ（β2v2cosθ-β1v1）
因為不計水頭損失，由能量方程可知v1=v2，取β1=β2=1.0，得
R=ρQv1（1-cosθ）
射流在固定凹面板上的沖擊力R′=R，方向與R相反。
圖2-21
由于凹面板末端的切線與x軸的夾角
，則cosθ為負值，所以，作用在凹面板上的沖擊力大于作用在平面板上的沖擊力。沖擊式水輪機的葉片（水斗）做成一個凹面，就是為了增大水流的作用力。