工作任務五 水頭損失的計算

一、水頭損失產生的原因和分類

水流在運動過程中，由于實際液體存在黏滯性，同時液流邊界條件可能發生變化，引起過水斷面上流速分布不均勻，從而使水流中存在摩擦阻力。水流運動克服摩擦阻力需要消耗一部分能量，造成機械能的損失，這就是水頭損失。

如圖2-22所示為一等直徑的水平放置的管道，保持管中水流為恒定流。由于水流為恒定流，且管徑不變，斷面1—1和斷面2—2的斷面平均流速v相等，又因管軸線水平，兩斷面的位置高度z也相等，但測壓管高度由斷面1—1的減小到了斷面2—2的，這說明水流在流動過程中消耗了部分能量。同樣，在閥門的下游斷面3—3也設置了一測壓管，可以看到，斷面3—3的測壓管高度與斷面2—2相比也有所下降，且斷面3—3與斷面2—2的距離小于斷面1—1與斷面2—2的距離，但其測壓管高度下降量更大，這說明水流流經閥門時也有水頭損失，且其損失往往比相等長度的直管段要大。

水流在不同邊界情況下的運動情況十分復雜，為便于計算水頭損失，通常把水頭損失分為兩類。

1.沿程水頭損失

當水流的邊界條件不變，水流只受內摩擦力（黏滯力）作用，所產生的阻力稱為沿程阻力，水流克服沿程阻力而損失的水頭稱為沿程水頭損失，用h_f表示。

沿程水頭損失是沿程都有的，且隨流程長度的增加而增加。在固體邊界順直的輸水管道、隧洞及河渠中，都會產生沿程水頭損失。圖2-22中斷面1—1和斷面2—2之間的能量損失即為沿程水頭損失。

2.局部水頭損失

由于水流局部邊界條件急劇改變，使水流結構發生急劇變化所形成的阻力稱為局部阻力，水流克服局部阻力所損失的水頭稱為局部水頭損失，用符號h_j表示。

局部水頭損失是在邊界條件發生改變處的一段流程內產生的，如經常發生在管道過水斷面突然擴大、縮小、轉彎或安裝閥門處。圖2-22中斷面2—2與斷面3—3之間的水頭損失主要為局部水頭損失。

實際水流中，整個流程存在著各種局部水頭損失和各流段的沿程水頭損失，其總和稱為該流程的水頭損失，用h_w表示，即

h_w=∑h_f+∑h_j

式中 ∑h_f——全流程上各段沿程水頭損失之和；

∑h_j——全流程上各個局部水頭損失之和。

19世紀初，水力學家已發現水流的水頭損失與流速有關。當流速很小時，水頭損失與流速的一次方成正比；當流速較大時，水頭損失與流速的二次方或接近二次方成正比。因此，欲計算水頭損失的大小，需要先了解水流運動的流態。

二、水流運動的兩種流態

（一）雷諾實驗

1883年，英國物理學家雷諾（O.Reynolds）通過大量實驗研究，證明了水流運動存在層流、紊流兩種流動型態，明確了水頭損失與流速間的關系是由于水流的不同流態造成的，闡明了水頭損失的機理。

圖2-23為雷諾試驗裝置示意圖。試驗時，管徑不變，使水箱內水位保持不變，保證試驗時管內的水流為恒定流。

實驗開始時，先將閥門A緩慢打開，使管內水流以很小的速度流動，然后打開顏色水閥門B。隨著顏色水流入玻璃管內，可以看到試驗段的玻璃管內出現一條穩定而明顯的著色流束，此著色水流不與管內未著色水流相互摻雜，如圖2-24（a）所示。這種水流質點形成有條不紊的分層流動型態，稱為層流。

逐漸將閥門A開大，試驗管段中的水流速度也逐漸增加，此時可以看到，玻璃管中的著色流束開始顫動，并彎曲成波形，如圖2-24（b）所示。如繼續開大閥門A，會發現著色流束逐漸變粗，先在個別地方出現斷裂，失去了原來清晰的形狀；最后，當流速達到某一定值時，著色流束完全破裂形成漩渦，向四周擴散，使全部水流染色，如圖2-24（c）所示。這種水流質點一邊運動一邊擴散，形成相互混摻的流動型態，稱為紊流。

如果開始將閥門A全部打開，試驗以相反的程序進行，則玻璃管中的水流也會由紊流變為層流，只是由紊流轉變為層流的流速要比層流轉變為紊流的流速小得多。

（二）水流型態的判別

雷諾通過大量實驗得出，在層流與紊流的轉變過程中總存在一種臨界狀態，此臨界狀態下，對于同一邊界形狀的流動，在不同液體、不同溫度、不同邊界尺寸的情況下，雷諾數Re為一常數。

管流雷諾數Re的表達式為：

式中 Re——雷諾數；

v——斷面平均流速；

d——管徑；

ν——液體運動黏滯系數。

明槽流動中，雷諾數Re的表達式為：

上式中，R為水力半徑，其計算公式為：

式中 A——過水斷面面積；

χ——濕周（水流與固體邊界接觸的周界長）。

層流和紊流轉變時的雷諾數叫臨界雷諾數，用表示。當實際雷諾數時，水流型態為紊流；當實際雷諾數時，水流型態為層流。

當過水斷面為圓管時，臨界雷諾數；當過水斷面為明渠時，。

【例題2-9】某矩形明渠水流，底寬b=0.15m，水深h=0.08m，今測得其斷面平均流速v=0.15m/s，水溫為20℃，試判別水流流態（已知水溫為20℃時，其運動黏滯系數ν=1.003×10^-6m²/s）。

解：根據已知條件，計算水流的運動要素：

過水斷面面積：A=bh=0.15×0.08=0.012（m²）

濕周：χ=b+2h=0.15+2×0.08=0.31（m）

水力半徑：

雷諾數：

因，則明渠中的水流為紊流。

【例題2-10】有一輸水管，管徑為d=0.2m，管中通過的流量Q=10L/s，水溫為10℃，試判別該水流的流態（已知水溫為10℃時，其運動黏滯系數ν=1.306×10^-6m²/s）。

解：輸水管中水流速度：

雷諾數：

因Re&gt；Re_k，則輸水管中的水流為紊流。

三、沿程水頭損失的計算

（一）沿程水頭損失的理論計算公式——達西-魏斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式

在均勻流中，對任意兩斷面列能量方程，并通過改變實驗條件探討影響沿程水頭損失的因素，從而得到沿程水頭損失的計算公式：

式中 h_f——沿程水頭損失，m；

λ——沿程水頭損失系數，它反映了水流型態、邊界粗糙程度對水頭損失的影響，為無量綱系數；

L——計算段長度，m；

R——水力半徑，m；

v——斷面平均流速，m/s。

上式即為達西-魏斯巴赫公式。

對于圓管，因，則

式中 d——管道直徑，m。

利用達西—魏斯巴赫公式計算沿程水頭損失的關鍵是確定沿程水頭損失系數λ。λ可由實驗測得，也可查有關圖求得，具體可查閱相關資料。

（二）沿程水頭損失的經驗公式——謝才公式

法國工程師謝才于1769年在總結了明渠均勻流的實測資料后提出了沿程水頭損失計算的經驗公式，稱為謝才公式，其形式為：

式中 R——水力半徑，m；

C——謝才系數，m^1/2/s；

J——水力坡度，；

v——斷面平均流速，m/s。

將代入上式，得

如令，并代入上式，則謝才公式可變形為：

以上變形說明謝才公式與達西-魏斯巴赫公式實質上是一致的。

謝才系數C的計算常用兩個經驗公式：

（1）曼寧公式。

式中 n——粗糙系數，簡稱糙率，它是衡量邊壁阻力影響的一個無量綱綜合系數，可查閱表2-1。

（2）巴甫洛夫斯基公式。

式中 y——指數，可由公式計算獲得。

【例題2-11】有一矩形斷面的混凝土渠道，已知渠道通過的流量為Q=15m³/s，渠底寬b=5m，水深h=2.5m，渠道糙率n=0.014。試求渠道中發生均勻流時每公里渠長上的沿程水頭損失。

解：利用公式計算每公里渠長上的沿程水頭損失。

過水斷面面積：A=bh=5×2.5=12.5（m²）

濕周：χ=b+2h=5+2×2.5=10（m）

水力半徑：

流速：

（1）由曼寧公式計算C值，再求沿程水頭損失。

每公里渠長上的沿程水頭損失h_f為：

（2）由巴甫洛夫斯基公式計算C值，再求沿程水頭損失。

每公里渠長上的沿程水頭損失h_f為：

從上述結果可以看出，兩種計算謝才系數的方法差別很小。

【例題2-12】有一引水隧洞，洞徑d=2.0m，洞長L=1500m，引水隧洞糙率n=0.014。試求當引水隧洞通過流量Q=6.0m³/s時的沿程水頭損失h_f，并求其對應的λ值。

解：（1）計算隧洞的水力要素。

過水斷面面積：

水力半徑：

過水斷面平均流速：

（2）求沿程水頭損失h_f。

（3）求λ。

【例題2-13】如圖2-25所示，某矩形混凝土渠道，底寬b=5m，水流為均勻流，當通過的流量Q=6m³/s時，水深h=1.5m，已知渠道的沿程水頭損失系數λ=0.0115。試求相距1500m的兩個斷面的水面落差。

解：選任一水平面為基準面，以兩斷面水面上的點為代表點，對斷面1—1和斷面2—2列能量方程：

因水流為均勻流，則v₁=v₂、h_w1-2=h_f1-2，且p₁=p₂=0，取α₁=α₂=1.0，則水面落差為：

Δz=z₁-z₂=h_f1-2

現計算斷面1—1和斷面2—2之間的沿程水頭損失h_f1-2。

過水斷面面積：A=bh=5×1.5=7.5（m²）

濕周：χ=b+2h=5+2×1.5=8（m）

水力半徑：R=A/χ=7.5/8=0.94（m）

流速：

沿程水頭損失：

因此Δz=z₁-z₂=h_f1-2，則兩斷面的水面落差Δz為0.15m。

四、局部水頭損失的計算

局部水頭損失產生處的邊界條件非常復雜，目前還沒有理論計算公式，常用經驗公式，即

式中 ζ——局部水頭損失系數。

局部水頭損失系數ζ可查閱表2-2選用，但必須注意的是，ζ是對應于某一流速水頭而言的，在選用時應注意兩者的關系，選用與ζ對應的流速水頭。如表2-2中未加特殊標注，該ζ值皆是指相應于局部阻力后的流速水頭。

【例題2-14】從水箱引出一直徑不同的管道，如圖2-26所示。已知d₁=200mm，L₁=30m，λ₁=0.032，d₂=125mm，L₂=30m，λ₂=0.036，第二段管子上有一平板閘閥，其開度為a/d=0.5。當輸送流量Q=30L/s時，試求：（1）沿程水頭損失∑h_f；（2）局部水頭損失∑h_j；（3）水箱的水頭H。

解：（1）沿程水頭損失。

第一段管道斷面平均流速：

第一段管道沿程水頭損失：

第二段管道斷面平均流速：

第二段管道沿程水頭損失：

總沿程水頭損失：∑h_f=h_f1+h_f2=0.224+2.637=2.861（m）

（2）局部水頭損失。

1）進口處局部水頭損失。直角進口處的局部水頭損失系數ζ_進口=0.5，則

2）斷面突然縮小處局部水頭損失。根據，查得，則

3）閘閥處的局部水頭損失。由平板閘閥的開度為a/d=0.5，查得ζ_閘=2.06，則

總局部水頭損失：∑h_j=h_j1+h_j2+h_j3=0.023+0.093+0.629=0.745（m）

（3）水箱的水頭H。以管軸線為基準面，取水箱內斷面1—1和管道出口斷面2—2為兩過水斷面來研究。利用斷面1—1和斷面2—2之間的能量方程求解水箱的水頭H。

斷面1—1代表點取在水面點，其位置高度為H，壓強為大氣壓，流速近似為零。斷面2—2代表點取在管道中心點，位置高度為零，因斷面四周為大氣壓強，故中心點也近似為大氣壓強，流速為v₂。列斷面1—1與斷面2—2的能量方程，并整理得：