工作任務三 恒定總流的能量方程

液體和其他任何物體一樣，在重力作用下作機械運動時，都遵守能量守恒和轉化定律，即物體的動能和勢能可以相互轉化；同時運動過程中，部分機械能也可能轉化為熱能消失，但不論能量怎么轉化，其總和均不變。只是液體在做機械運動時，除位置勢能和動能外，還有壓力勢能存在。

下面將討論反映能量守恒和轉化定律的恒定總流能量方程。

一、公式推導

（一）微小流束的能量方程

如圖2-11所示，在恒定總流中選取斷面1—1與斷面2—2之間的水體作為研究對象，并從中取一微小流束來研究。設微小流束的過水斷面1—1與過水斷面2—2的面積分別為dA₁和dA₂，相應的流速為u₁和u₂，兩斷面形心點的位置高度分別為z₁和z₂，動水壓強分別為p₁和p₂。對于微小流束，過水斷面上各點的流速和動水壓強可認為是相等的。假設經過dt時間后，微小流束由原來的1—2位置移動到了1′—2′，則斷面1—1與斷面2—2所移動的距離分別是：

dl₁=u₁dt

dl₂=u₂dt

因研究的水流為恒定流，1′—2段水體的形狀、體積和位置等都不隨時間發生變化。所以，研究微小流束從1—2位置移動到了1′—2′位置時，只需研究微小流束從1—1′段移動到2—2′段的運動就可以了。由物理學動能定理可知：運動物體動能的增量等于同一時段內作用于運動物體上所有外力對物體所做功的代數和。所以，需研究微小流束動能的增量和外力所做的功。

1.動能的增加

根據質量守恒原理，流段2—2′與流段1—1′的質量相等，即

故該微小流束動能的增量為：

2.外力所做的功

對微小流束做功的力共有三個，分別為：動水壓力、重力和微小流束在運動過程中所受到的摩擦阻力。

（1）動水壓力做功。

作用于微小流束上的動水壓力有兩端過水斷面上的動水壓力和微小流束側表面上的動水壓力。由于微小流束側表面上的動水壓力與水流運動方向垂直，所以不做功。

作用在斷面1—1的動水壓力p₁dA₁與水流運動方向相同，做正功；作用在斷面2—2的動水壓力p₂dA₂與水流運動方向相反，做負功。則動水壓力所做的功為：

p₁dA₁dl₁-p₂dA₂dl₂=p₁dA₁u₁dt-p₂dA₂u₂dt=dQdt（p₁-p₂）

（2）重力做功。

微小流束段1—1′和2—2′的位置高差為z₁-z₂，重力所做的功為：

G（z₁-z₂）=γV（z₁-z₂）=γdQdt（z₁-z₂）

（3）阻力做功。

對于實際液體，由于黏滯性的存在，液體運動時必須克服內摩擦阻力，消耗一部分能量。阻力所做的功為負功。設阻力對單位重量液體所做的功為h′_w，微小流束從1—1′段移動到2—2′段阻力所做的功為：

-γdQdth′_w

外力對微小流束所做的功應是以上三個外力做功的代數和，即

γdQdt（z₁-z₂）+dQdt（p₁-p₂）-γdQdth′_w

根據動能定理得：

將公式兩邊同時除以γdQdt，并整理得：

上式就是恒定流微小流束的能量方程。該方程是瑞士科學家伯努利（Bernoulli）于1738年最先提出的，故又稱為恒定流微小流束的伯努利方程。

（二）恒定總流的能量方程

在實際工作中，我們一般研究總流而非微小流束。將微小流束的能量方程對總流的過水斷面進行積分，可推導出恒定總流的能量方程。

若通過微小流束過水斷面的流量為dQ，則單位時間內通過微小流束過水斷面的液體重量為γdQ。將微小流束的能量方程各項分別乘以γdQ，同時進行積分得：

上式可整理為：

上式有三種積分形式，現分別進行討論。

1.勢能類積分

如總流的過水斷面為均勻流或漸變流，則斷面上各點的單位勢能相等，即2.動能類積分

在實際水流中，流速在過水斷面上的分布是不均勻的，而且其分布規律很難確定，所以直接對該項進行積分有難度。如果用斷面平均流速v代替斷面上各點的流速u來表示動能，即用來代替，則可方便地進行積分計算。

因為v是斷面上各點流速u的平均值，u³&gt；v³，在此引入動能修正系數α，且令常數，則，則

需要說明的是，動能修正系數α值取決于總流過水斷面上流速分布情況，流速分布越均勻，α值越接近1。當水流為漸變流時，一般取α=1.05～1.1。實際工程中為計算方便，常取α=1.0。

3.能量損失類積分

h′_w是單位重量水體從1—1斷面移動到2—2斷面的能量損失，但各微小流束中單位重量水體的能量損失并不相等。設h_w為總流單位重量液體在這兩個斷面間的各微小流束中的平均機械能損失，則

這樣就可將式（2-1）變形為：

將上式各項均除以γQ，得

上述各式中 z——總流過水斷面上單位重量液體具有的單位位能，幾何上稱位置高度或位置水頭；

——總流過水斷面上單位重量液體具有的單位壓能，幾何上稱測壓管高度或壓強水頭；

——總流過水斷面上單位重量液體具有的單位勢能，幾何上稱為測壓管水頭；

——總流過水斷面上單位重量液體具有的單位動能，幾何上稱為流速水頭；

——總流過水斷面上單位重量液體的總能量，幾何上稱為總水頭；

h_w——總流單位重量液體從一個過水斷面流到另一個過水斷面克服水流阻力所做的功，即機械損失，幾何上稱為水頭損失。

上式即為不可壓縮液體恒定總流的能量方程。

恒定總流的能量方程反映了恒定水流在流動過程中，各種機械能發生轉化時所具有的共同規律：水從任一漸變流斷面流到另一漸變流斷面的過程中，它所具有的機械能的形式可相互轉化，但沿流程前一斷面水流具有的單位總能量一定等于后一斷面水流的單位總能量加上兩斷面之間的單位能量損失。

二、能量方程的圖示——水頭線

恒定總流的能量方程中各項都具有長度的量綱，為更加形象地反映總流沿程各種能量的變化規律及相互影響，可把能量方程用圖形描繪出來。

如圖2-12所示，在實際液體恒定總流中取一個流段，選0—0為基準面，以水頭為縱坐標，按一定比例把沿程各過水斷面的z、、分別繪于圖上。其中，z值一般選取斷面形心點的數值來標繪，相應的亦選用形心點的動水壓強來標繪。

把各個斷面表示z值的點連接起來得到位置水頭線。

把各個斷面表示值的點連接起來得到測壓管水頭線。測壓管水頭線反映了水流中勢能沿流程的變化規律，測壓管水頭線在位置水頭線之上，則壓強為正；反之為負。

把各個斷面表示值的點連接起來得到總水頭線。總水頭線反映了水流總機械能沿流程的變化規律。

對于實際液體，水頭損失肯定是沿流程不斷增加的，所以實際液體的總水頭線必定是沿流程逐漸下降的。任意兩個斷面之間的總水頭線的降低值，即為該兩個斷面間的水頭損失h_w。在水力學中，總水頭線沿流程的下降情況常用單位流程上的水頭損失，即水力坡降J來表示。

當總水頭線為直線時，水力坡降J為：

當總水頭線為曲線時，水力坡降J為：

因總水頭損失的增量dH一定是個負值，為使水力坡降J為正值，故在上式中加負號。

需要理解的是，測壓管水頭線沿流程可升可降，也可能是一條水平線。對于河渠中的漸變流，其測壓管水頭線就是水面線。

三、能量方程的應用條件

實際液體恒定總流的能量方程在應用時，必須滿足以下條件：

（1）水流必須是恒定流。

（2）液體為不可壓縮液體，且作用于液體上的質量力只有重力。

（3）建立能量方程時，兩個計算過水斷面應滿足均勻流或漸變流條件，但兩個過水斷面之間的水流也可為急變流。

（4）兩個過水斷面之間沒有流量的匯入或分出，即總流的流量沿流程不變。

（5）兩個過水斷面之間除水頭損失外，水流沒有其他能量的輸入或輸出。

為了更好地利用能量方程解決實際問題，還需注意以下幾點：

（1）基準面的選取。基準面是計算位置水頭z的標準，基準面可以任意選取，并不影響計算結果，但必須為一水平面。同一能量方程中，在計算兩斷面的位置水頭時，必須采用同一基準面。

（2）計算斷面的選擇。計算斷面必須滿足均勻流或漸變流條件，還需注意把計算斷面選在已知條件較多，并含有待求未知量的斷面上。

（3）計算點的選擇。恰當選取適宜的計算點可簡化計算。例如，計算點如選在自由表面或管道出口處時，p=0；如計算點選在基準面上時，z=0。通常，對于管流一般選擇管軸中心點為計算點；對于明渠選自由水面上的點為計算點。

（4）壓強計算標準的選擇。能量方程中動水壓強p₁、p₂用相對壓強或絕對壓強計算都可以，但同一能量方程中必須采用同一計算標準。考慮到計算方便，多采用相對壓強。

（5）動能修正系數α的選取。嚴格地講，動能修正系數α₁與α₂并不相等，且不等于1.0，但因它們的數值相差不大，對于漸變流或均勻流，為計算方便，往往取α₁=α₂=1.0。

（6）應用能量方程解決實際問題時，如同時出現的未知量較多，應考慮與其他方程聯合求解，多與連續性方程聯合求解。

四、能量方程的應用

（一）文德里流量計

文德里流量計是一種測量有壓管道中流量大小的裝置，它由收縮段、喉管、擴散段三部分組成，安裝在需要測定流量的管道中，如圖2-13所示。在斷面1—1和斷面2—2處分別安裝一根測壓管，也可直接設置壓差計，通過斷面1—1和斷面2—2測壓管水頭差Δh值，即可根據能量方程計算出管中流量。其原理如下：

將管道水平放置，取管軸線所在的水平面0—0為基準面，建立斷面1—1和斷面2—2的能量方程，且暫不考慮水頭損失，有

因z₁=z₂=0，，，取 α₁=α₂=1.0，則

設斷面1—1和斷面2—2處管道直徑分別為d₁、d₂，根據連續性方程：

v₁A₁=v₂A₂

將v₁與v₂的關系代入公式，得

或

因此，通過文德里流量計的流量為：

令

當管道直徑d₁和d₂確定后，K為一定值，測得兩測壓管水頭差Δh后，便可計算出流量Q值。

但由于實際液體存在水頭損失，通過公式計算的流量要比實際通過文德里流量計的流量要大，為此，引入流量系數μ加以修正，則實際流量公式為：

式中 μ——文德里流量計的流量系數，一般為0.95～0.98。

如當測壓管水頭差Δh較大，不便測讀時，可在文德里流量計斷面1—1和斷面2—2處直接安裝水銀壓差計，如圖2-14所示。

由壓差計原理可知：

因γ_m=133.3kN/m³，γ=9.8kN/m³，則

式中 Δh——水銀壓差計兩支水銀面高差。

此時，文德里流量計的流量為：

【例題2-5】有一文德里流量計，如圖2-14所示，已知管徑d₁=15cm，d₂=10cm，水銀壓差計高差Δh=20cm，實測管中流量Q=60L/s，試求文德里流量計的流量系數μ。

解：流量系數

（二）畢托管測流速

畢托管是一種應用于測量渠道和管道中液體流速的儀器，其測速原理就是液體的能量轉化與守恒原理，現分析如下。

在運動液體中某點B放置一根彎成直角的兩端開口的細管，即測速管，如圖2-15所示。測速管的前端對準來流，另一端垂直向上，水流質點經B點沿細管進入，受彎管的阻擋，流速變為零，動能全部轉化為壓能，使得測速管中的水面上升至高度。在過B點的同一水平流線的上游，取一與B點非常接近的A點，在A點裝一測壓管，A點流速為u，測壓管高度為。由于A點和B點很近，暫忽略兩者之間的能量損失，取A、B兩點所在平面為基準面，列A、B兩點的能量方程：

即

式中 Δh——兩根測壓管的液面差。

實際測量中是把兩根管子并入一根彎管中，如圖2-16所示。考慮到畢托管前端孔與側面孔的位置不同，測得的不是同一點上的能量；而且考慮畢托管放入液體中會產生擾動，使得測壓管液面差Δh可能與實際值有誤差，應引入修正系數μ，即

式中 μ——畢托管修正系數，一般為0.98～1.0；當畢托管使用過久或測量精度要求較高時，μ值應重新確定。