工作任務二 恒定總流的連續性方程

一、公式推導

水流和其他物質一樣，在運動過程中也必然遵守質量守恒定律。

如圖2-7所示，在恒定總流中任取一段微小流束為研究對象，設微小流束上游過水斷面1—1的面積為dA₁，下游過水斷面2—2的面積為dA₂，兩個過水斷面的流速分別為u₁和u₂。考慮到恒定總流中的流線位置和形狀不隨時間變化，水流不可能從微小流束的側壁流入或流出。也就是說，水流只能從兩段的過水斷面流入或流出，在dt時段內流經過水斷面1—1的水流質量應等于流經過水斷面2—2的水流質量，即

ρ₁u₁dA₁dt=ρ₂u₂dA₂dt

對于不可壓縮液體有ρ₁=ρ₂，上式可簡化為：

u₁dA₁=u₂dA₂

或 u₁dA₁=u₂dA₂=dQ=常數

上式即為恒定流微小流束的連續性方程。

因為總流是由無數個微小流束組成的，將微小流束的連續性方程在總流過水斷面上積分，便可得到總流的連續性方程，即

設總流過水斷面1—1和斷面2—2的面積分別為A₁、A₂，斷面平均流速分別為v₁、v₂，上式可改寫為：

Q=v₁A₁=v₂A₂=常數

上兩式即為恒定總流連續性方程。

恒定總流連續性方程表明：恒定流中任意兩斷面，其過水斷面平均流速與過水斷面面積成反比，即過水斷面面積越大，斷面平均流速越??；過水斷面面積越小，斷面平均流速越大。

需要注意的是，對于沿程有流量匯入或分出的情況，連續性方程在形式上應作相應變化。

當有流量匯入時，如圖2-8（a）所示，其連續性方程為：

Q₁+Q₃=Q₂

當有流量分出時，如圖2-8（b）所示，其連續性方程為：

Q₁=Q₂+Q₃

二、連續性方程的應用

【例題2-3】有一壓力管道，如圖2-9所示，已知d₁=300mm，d₂=200mm，d₃=125mm，且第三段管中的平均流速v₃=2m/s。試求管道中的流量Q及第一段、第二段管道中的平均流速v₁和v₂。

解：管道流量Q為：

根據連續性方程有：

則

【例題2-4】如圖2-10所示，某主河道的總流量Q₁=1800m³/s，上游兩個支流的斷面平均流速分別為v₂=0.92m/s、v₃=1.25m/s，若兩個支流的過水斷面面積之比為A₂：A₃=4：1。試求兩個支流的過水斷面面積A₂和A₃。

解：根據連續性方程有：

Q₂+Q₃=Q₁

即 v₂A₂+v₃A₃=Q₁

將A₂=4A₃，v₂=0.92m/s，v₃=1.25m/s，Q₁=1800m³/s代入上式，得

A₂=4A₃=4×365.11=1460.45（m²）