波與波力

二維強(qiáng)迫波的分析^>[1]

對(duì)水體進(jìn)行強(qiáng)迫振蕩的分析，是有助于水利、海洋等某些工程的設(shè)計(jì)，同時(shí)對(duì)室內(nèi)模擬的水體波動(dòng)特性，可以從理論上進(jìn)一步掌握和了解。本文主要推導(dǎo)和分析了二維強(qiáng)迫干涉波、強(qiáng)迫前進(jìn)波的解，并概述了其解的一些應(yīng)用。

一、強(qiáng)迫干涉波

1.方程提出和建立

由于干涉波較為復(fù)雜，對(duì)它作了適當(dāng)?shù)暮喕俣ㄋw運(yùn)動(dòng)是無旋不可壓縮的，邊界一端或兩端認(rèn)為是簡諧運(yùn)動(dòng)，并將問題作為二維的定常情況來處理。選水體靜止自由表面向右為ox軸，垂直向下為oz軸，水深H，水體長度l。這樣問題的求解，便可歸結(jié)為尋找滿足拉普拉斯方程Δ²φ=0和邊界條件的水體速度勢φ。現(xiàn)建立式（1.1）、式（1.2）兩組偏微分方程：

式中：A、B為左、右邊界處的水面或水底的強(qiáng)迫水平雙振幅。

2.方程的求解

（1）第一組方程的解。設(shè)φ=X（x）P（z）cosσt為式（1.1）的解，將φ代入方程組（1.1）的前三式中去，便可得下列常微分方程：

式中：λ為特征值；P（z）為特征函數(shù)。

當(dāng)λ&lt；0時(shí)，有特解：

式中，，而A′₀、B′₀由式（1.1）中的邊界條件及特征函數(shù)chK₀（z-H）在區(qū)域（0，H）的正交性求得。

當(dāng)λ&gt；0時(shí)，各種特解為：

式中，K_n=、p′=Hσ²/g，而A′_n、B′_n由式（1.1）中的邊界條件及特征函數(shù)［-K_ncosK_nz+（p′/H）sinK_nz］在區(qū)域（0，H）的正交性求得：

通過上面求解過程，第一組偏微分方程的解為：

式中，B′₀、B′_n由式（1.7）、式（1.10）決定。

根據(jù)波動(dòng)表面方程及拉格郎日方程得到下列干涉波的波形和波壓公式：

（2）第二組方程的解。由于式（1.2）是線性方程組，而其邊界條件是非齊次的，因此可將式（1.2）分成下列兩組方程：

類似上節(jié)方法，可分別求解，最后將此兩解進(jìn)行疊加得：

同前法求得下列波形及波壓公式：

二、強(qiáng)迫前進(jìn)波

設(shè)想有一二維水體，位于一水平底層之上，一端產(chǎn)生簡諧運(yùn)動(dòng)，強(qiáng)迫水體振蕩，另一端水體延伸至無窮遠(yuǎn)處，坐標(biāo)同前選擇。以P表示壓力，u、v分別為ox軸和oz軸方向的水質(zhì)點(diǎn)速度分量，則連續(xù)方程及運(yùn)動(dòng)方程為：

自由表面應(yīng)滿足條件：

式中：ζ為水面離靜止水位升降的高度。

底部需滿足條件：

水體左端邊界產(chǎn)生簡諧運(yùn)動(dòng)，其邊界條件：

水體右端邊界條件：

在x→∞處，波浪為向右傳播的前進(jìn)波。

本文主要用逐次逼近的辦法求得上述方程的近似解。首先將方程及邊界條件線性化，求得一階近似解。再把一階近似解代回原方程來求得二階近似解。

1.一階近似解

同理，設(shè)水體是無旋的，速度勢存在，則方程式（2.1）～式（2.4）可簡化成形如（1.1）方程組中前四式形式，因此一階近似解的形式同前相仿，不同的是由于邊界條件差異，解的形式需作如下變化。

當(dāng)特征值λ&lt；0時(shí)，方程組（1.1）解的一般形式為式（1.5），由邊界條件，當(dāng)x→∞時(shí)為向右傳播的前進(jìn)波，因而在式（1.5）中只須取A′₀=0，于是φ₀的一般形式可化為：

式中，常數(shù)B′₀可由邊界條件及特征函數(shù)chK（z-H）在區(qū)域（0，H）的正交性決定：

當(dāng)特征值λ&gt；0時(shí)，方程式（1.1）的特征解形式為式（1.8），由于邊界條件x→∞時(shí)，φ為有限值，故在式（1.8）中取A′_n=0，于是：

因此一階近似解的形式為：

式中，K₀為σ²=gKthKH的正根，K₁，K₂，…，K_n為σ²=-gKtanKH的正根。，因而對(duì)于所有n，K_nH&gt；，故當(dāng)x=3H時(shí)，式（2.8）中第二項(xiàng)可略去不計(jì)。由此解的形式又可寫成：

式中，B′₀仍由式（2.6）表示。B′₀為參數(shù)，各種不同的波型取不同的值。式（2.6）中B′₀為過渡型的波動(dòng)參數(shù)；當(dāng)式（2.6）中A=B時(shí)，B′₀為淺水型的波動(dòng)參數(shù)；當(dāng)式（2.6）中B=0時(shí)，B′₀為深水型的波動(dòng)參數(shù)。

同前方法，求得一階近似解的壓力、波形、波高及波速：

2.二階近似解

將式（2.1）寫成下列形式：

在水面z=-ζ處，應(yīng)滿足條件：

其他邊界條件均同前所述。把式（2.12）的u、v代入式（2.13）的右方得方程組，并考慮到此方程組非齊次性，可得特解為：

把式（2.15）中三式分別加入到一階近似解式（2.10）、式（2.12）中去，并由B′₀=gh₁/2σchK₀H、σ=及K₀=便得到二階近似解各式：

式中：L為波長；T為周期。把式（2.17）代入式（2.14）后，對(duì)其積分后又得：

通過我院波浪水槽的試驗(yàn)，證明了二階近似解各式的計(jì)算值是與試驗(yàn)資料吻合的。

三、應(yīng)用

1.地震激起的水體表面波的壅高

地震能引起大壩振動(dòng)及水庫內(nèi)水體的振蕩。地震時(shí)，對(duì)壩體結(jié)構(gòu)而言有絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)兩種。這兩種運(yùn)動(dòng)的位相是不同的。在計(jì)算地震激起水體表面波的壅高時(shí)，對(duì)于低壩及庫面不開闊的情況可直接用式（1.18）進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于高壩而庫面開闊的情況，應(yīng)用如下公式［式（2.18）簡化］進(jìn)行計(jì)算。

（1）相對(duì)水平運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的波浪壅高：

式中：A為靜水面處壩體的相對(duì)水平最大雙振幅；L=gT²/2π。

（2）絕對(duì)水平運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的波浪壅高：

式中：B為絕對(duì)水平最大雙振幅；L同上式。

2.大型圓柱體上波壓

從有限波高出發(fā)，取得了波壓公式（2.16），然后對(duì)公式進(jìn)行圓柱坐標(biāo)的變換，并結(jié)合美國馬克坎米在柱體上的繞射理論，導(dǎo)得了大型柱體上的波壓公式：

式中：a為圓柱體半徑；ψ=arctan（2K₀cosθ）；φ=arctan（4K₀cosθ）。

根據(jù)大型柱體上的波壓公式，不難求得單位高度波力及水平總波力公式，便于海洋平臺(tái)、水庫進(jìn)水塔上的波浪載荷的計(jì)算。這些公式的計(jì)算結(jié)果與我院原體觀測得到的資料是接近的。

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