波與波力

二維強迫波的分析^>[1]

對水體進行強迫振蕩的分析，是有助于水利、海洋等某些工程的設計，同時對室內模擬的水體波動特性，可以從理論上進一步掌握和了解。本文主要推導和分析了二維強迫干涉波、強迫前進波的解，并概述了其解的一些應用。

一、強迫干涉波

1.方程提出和建立

由于干涉波較為復雜，對它作了適當的簡化，假定水體運動是無旋不可壓縮的，邊界一端或兩端認為是簡諧運動，并將問題作為二維的定常情況來處理。選水體靜止自由表面向右為ox軸，垂直向下為oz軸，水深H，水體長度l。這樣問題的求解，便可歸結為尋找滿足拉普拉斯方程Δ²φ=0和邊界條件的水體速度勢φ。現建立式（1.1）、式（1.2）兩組偏微分方程：

式中：A、B為左、右邊界處的水面或水底的強迫水平雙振幅。

2.方程的求解

（1）第一組方程的解。設φ=X（x）P（z）cosσt為式（1.1）的解，將φ代入方程組（1.1）的前三式中去，便可得下列常微分方程：

式中：λ為特征值；P（z）為特征函數。

當λ&lt；0時，有特解：

式中，，而A′₀、B′₀由式（1.1）中的邊界條件及特征函數chK₀（z-H）在區域（0，H）的正交性求得。

當λ&gt；0時，各種特解為：

式中，K_n=、p′=Hσ²/g，而A′_n、B′_n由式（1.1）中的邊界條件及特征函數［-K_ncosK_nz+（p′/H）sinK_nz］在區域（0，H）的正交性求得：

通過上面求解過程，第一組偏微分方程的解為：

式中，B′₀、B′_n由式（1.7）、式（1.10）決定。

根據波動表面方程及拉格郎日方程得到下列干涉波的波形和波壓公式：

（2）第二組方程的解。由于式（1.2）是線性方程組，而其邊界條件是非齊次的，因此可將式（1.2）分成下列兩組方程：

類似上節方法，可分別求解，最后將此兩解進行疊加得：

同前法求得下列波形及波壓公式：

二、強迫前進波

設想有一二維水體，位于一水平底層之上，一端產生簡諧運動，強迫水體振蕩，另一端水體延伸至無窮遠處，坐標同前選擇。以P表示壓力，u、v分別為ox軸和oz軸方向的水質點速度分量，則連續方程及運動方程為：

自由表面應滿足條件：

式中：ζ為水面離靜止水位升降的高度。

底部需滿足條件：

水體左端邊界產生簡諧運動，其邊界條件：

水體右端邊界條件：

在x→∞處，波浪為向右傳播的前進波。

本文主要用逐次逼近的辦法求得上述方程的近似解。首先將方程及邊界條件線性化，求得一階近似解。再把一階近似解代回原方程來求得二階近似解。

1.一階近似解

同理，設水體是無旋的，速度勢存在，則方程式（2.1）～式（2.4）可簡化成形如（1.1）方程組中前四式形式，因此一階近似解的形式同前相仿，不同的是由于邊界條件差異，解的形式需作如下變化。

當特征值λ&lt；0時，方程組（1.1）解的一般形式為式（1.5），由邊界條件，當x→∞時為向右傳播的前進波，因而在式（1.5）中只須取A′₀=0，于是φ₀的一般形式可化為：

式中，常數B′₀可由邊界條件及特征函數chK（z-H）在區域（0，H）的正交性決定：

當特征值λ&gt；0時，方程式（1.1）的特征解形式為式（1.8），由于邊界條件x→∞時，φ為有限值，故在式（1.8）中取A′_n=0，于是：

因此一階近似解的形式為：

式中，K₀為σ²=gKthKH的正根，K₁，K₂，…，K_n為σ²=-gKtanKH的正根。，因而對于所有n，K_nH&gt；，故當x=3H時，式（2.8）中第二項可略去不計。由此解的形式又可寫成：

式中，B′₀仍由式（2.6）表示。B′₀為參數，各種不同的波型取不同的值。式（2.6）中B′₀為過渡型的波動參數；當式（2.6）中A=B時，B′₀為淺水型的波動參數；當式（2.6）中B=0時，B′₀為深水型的波動參數。

同前方法，求得一階近似解的壓力、波形、波高及波速：

2.二階近似解

將式（2.1）寫成下列形式：

在水面z=-ζ處，應滿足條件：

其他邊界條件均同前所述。把式（2.12）的u、v代入式（2.13）的右方得方程組，并考慮到此方程組非齊次性，可得特解為：

把式（2.15）中三式分別加入到一階近似解式（2.10）、式（2.12）中去，并由B′₀=gh₁/2σchK₀H、σ=及K₀=便得到二階近似解各式：

式中：L為波長；T為周期。把式（2.17）代入式（2.14）后，對其積分后又得：

通過我院波浪水槽的試驗，證明了二階近似解各式的計算值是與試驗資料吻合的。

三、應用

1.地震激起的水體表面波的壅高

地震能引起大壩振動及水庫內水體的振蕩。地震時，對壩體結構而言有絕對運動和相對運動兩種。這兩種運動的位相是不同的。在計算地震激起水體表面波的壅高時，對于低壩及庫面不開闊的情況可直接用式（1.18）進行計算。對于高壩而庫面開闊的情況，應用如下公式［式（2.18）簡化］進行計算。

（1）相對水平運動產生的波浪壅高：

式中：A為靜水面處壩體的相對水平最大雙振幅；L=gT²/2π。

（2）絕對水平運動產生的波浪壅高：

式中：B為絕對水平最大雙振幅；L同上式。

2.大型圓柱體上波壓

從有限波高出發，取得了波壓公式（2.16），然后對公式進行圓柱坐標的變換，并結合美國馬克坎米在柱體上的繞射理論，導得了大型柱體上的波壓公式：

式中：a為圓柱體半徑；ψ=arctan（2K₀cosθ）；φ=arctan（4K₀cosθ）。

根據大型柱體上的波壓公式，不難求得單位高度波力及水平總波力公式，便于海洋平臺、水庫進水塔上的波浪載荷的計算。這些公式的計算結果與我院原體觀測得到的資料是接近的。

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