1.3　水平面代替水準面的限度

在地形測量中,當測區的面積不大時,可以用水平面代替水準面作為測量的基準面,那么,究竟在多大的范圍可以用水平面來代替水準面呢?

1.3.1　用水平面代替水準面對距離的影響

如圖1.6所示,設地面上有A、B兩點,沿著鉛垂線投影,A點沿著鉛垂線投影到曲面上為a點,又設球面P與平面P'相切于a點,B點沿著鉛垂線投影到曲面P上為b點,投影到平面P'上為b'點,地面線AB投影到平面的長度為ab',投影到曲面的長度為ab,設ab=s,ab'=s',球的半徑為R。

用投影到平面的長度s'代替投影到曲面的長度s,其所產生的誤差為

根據三角函數的級數公式展開,并略去高次項,得

將β=代入上式,得

取R=6371km,并以不同的距離s代入式(1.2),可得到距離誤差Δs和相對誤差Δs/s,見表1.1。

由表1.1可看出,當距離為10km時,以平面代替曲面所產生的距離相對誤差為1︰120萬,這樣微小的誤差,就算是最精密的測距也是容許的。因此,在半徑為10km的范圍內,用水平面代替水準面對距離的影響極小,可以忽略不計。

1.3.2　用水平面代替水準面對高程的影響

如圖1.6所示,bb'即為用水平面代替水準面產生的高程誤差。設bb'=Δh,則

由于s≈s',同時Δh與R比較,Δh極小,可以忽略不計,所以,上式可轉換為

以不同的距離代入上式,可得到高程誤差,見表1.2。

由表1.2可知,用水平面代替水準面對高程的影響極大,所以,在高程測量中即使距離很短的情況下,也必須考慮地球曲率對高程的影響。