項目三 測量誤差基本知識

內容提要 本項目共分六個任務，主要介紹了測量誤差的來源及分類，偶然誤差的特性，衡量精度的指標，觀測值函數的中誤差——誤差傳播定律，等精度觀測的最或是值計算及精度評定以及不等精度觀測的最或是值計算及精度評定。本項目的重點內容是：誤差的定義、分類、特性，衡量精度的指標（中誤差、相對誤差和允許誤差的概念及計算），誤差傳播定律，等精度觀測的最或是值計算及精度評定。本項目的難點是：誤差傳播定律的應用，中誤差的計算，權的確定。

在一定的外界條件下對某量進行多次觀測，盡管觀測者使用精密的儀器和工具，采用合理的觀測方法，以及認真負責的工作態度，但觀測結果之間往往還是存在著差異。這種差異說明了觀測中存在誤差。觀測誤差的產生是不可避免的。本章主要介紹產生誤差的基本原因，分析誤差的性質，確定判斷觀測成果質量的標準以及如何求得觀測值的最可靠值等。

任務一 測量誤差的來源及分類

一、測量誤差及其來源

任何觀測值都包含誤差。例如：水準測量閉合路線的高差總和往往不等于零；觀測水平角兩個半測回測得的角值不完全相等；距離往返丈量的結果總有差異。這些都說明觀測值中有誤差存在。

觀測對象客觀存在的量，稱為真值，通常用X表示。如三角形內角和的真值為180°。每次觀測所得的數值，稱為觀測值，通常用l_i（i=1，2，…，n）表示。觀測值與真值的差數，稱為真誤差，通常用Δ_i表示，有

產生觀測誤差的因素是多方面的，概括起來有以下三個：

（1）觀測時由于觀測者的感覺器官的鑒別能力存在局限性，在儀器的對中、整平、照準、讀數等方面都會產生誤差。同時，觀測者的技術熟練程度也會對觀測結果產生一定影響。

（2）測量中使用的儀器和工具，在設計、制造、安裝和校正等方面不可能十分完善，致使測量結果產生誤差。

（3）觀測過程中的外界條件，如溫度、濕度、風力、陽光、大氣折光、煙霧等時刻都在變化，必將對觀測結果產生影響。

通常把上述的人、儀器、客觀環境這三種因素綜合起來稱為觀測條件。

因受上述因素的影響，測量中存在誤差是不可避免的。誤差與粗差是不同的，粗差是指觀測結果中出現的錯誤，如測錯、讀錯、記錯等，通常所說的 “測量誤差″ 不包括粗差。

測量中，一般把觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；觀測條件不同的各次觀測，稱為非等精度觀測。

二、測量誤差的分類

根據觀測誤差的性質不同，觀測誤差可分為系統誤差和偶然誤差兩類。

（一）系統誤差

在相同觀測條件下，對某量進行一系列觀測，若出現的誤差在數值、符號上保持不變或按一定的規律變化，這種誤差稱為系統誤差。

系統誤差是由儀器制造或校正不完善，觀測者生理習性及觀測時的外界條件等引起的。如用名義長度為 30 m而實際長度為 29.99 m的鋼卷尺量距，每量一尺段就有將距離量長1cm的誤差。這種量距誤差，其數值和符號不變，且量的距離愈長，誤差愈大。因此，系統誤差在觀測成果中具有累計性。

1.系統誤差的特性

（1）同一性。

（2）單向性。

（3）累積性。

系統誤差在觀測成果中的累積性，對成果質量影響顯著。但它們的符號和大小又有一定的規律性，因此，可在觀測中采取相應措施予以消除。

2.系統誤差消除的方法

（1）測定儀器誤差，對觀測結果加以改正。如進行鋼尺檢定，求出尺長改正數，對量取的距離進行尺長改正。

（2）測前對儀器進行檢校，以減少儀器校正不完善的影響。如水準儀的i角檢校，使其影響減到最小限度。

（3）采用合理觀測方法，使誤差自行抵消或削弱。如水平角觀測中，采用盤左、盤右觀測，可消除視準軸誤差和橫軸誤差等。

（二）偶然誤差

在相同觀測條件下，對某量進行一系列觀測，若出現的誤差在數值、符號上有一定的隨機性，從表面看并沒有明顯的規律性，這種誤差稱為偶然誤差。

偶然誤差是許許多多人們所不能控制的微小的偶然因素（如人眼的分辨能力、儀器的極限精度、外界條件的時刻變化等）共同影響的結果。如用經緯儀測角時的照準誤差；水準測量中，在標尺上讀數時的估讀誤差等。

在測量過程中，通常偶然誤差和系統誤差是同時出現的。由于系統誤差具有一定的規律性，只要采取相應措施便可加以消除或削弱。偶然誤差則不能完全消除，只能采取適當的方法削弱他的影響。

除上述兩類性質的誤差外，還可能發生錯誤，例如，測錯、記錯、算錯等。錯誤的發生是由于觀測者在工作中粗心大意造成的，又稱粗差。凡含有粗差的觀測值應舍去不用，并需重測。

為了提高觀測成果的質量，同時也為了發現和消除錯誤，在測量工作中，一般都要進行多于必要的觀測，稱多余觀測。例如，測量一平面三角形的內角，只需要測得其中的任意兩個角度，即可確定其形狀。但實際上也測出第三個角，以便檢校內角和，從而判斷結果的正確性。

任務二 偶然誤差的特性

偶然誤差產生的原因純系隨機性的，只有通過大量觀測才能揭示其內在的規律，這種規律具有重要的實用價值。現通過一個實例來闡述偶然誤差的統計規律。

在相同的觀測條件下，對358個三角形獨立地觀測了其三個內角，每個三角形其內角之和應等于它的真值180°，由于觀測值存在誤差而往往不相等。根據式（3-1）可計算各三角形內角和真誤差（在測量工作中稱為三角形閉合差）。

式中 （l₁+l₂+l₃）_i——第i個三角形內角觀測值之和。

現取誤差區間的間隔dΔ=3″，將這一組誤差按其正負號與誤差值的大小排列。出現在基本區間誤差的個數稱為頻數，用K表示，頻數除以誤差的總個數n稱為頻率（K/n），也稱相對個數。統計結果見表3-1。

從表3-1中可以看出：小誤差出現的頻率較大，大誤差出現的頻率較小；絕對值相等的正負誤差出現的頻率相當；絕對值最大的誤差不超過某一個定值。在其他測量結果中也顯示出上述同樣規律。通過大量實驗統計結果表明，特別是當觀測次數較多時，可以總結出偶然誤差具有如下特性：

（1）有限性。在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。

（2）單峰性。絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多。

（3）對稱性。絕對值相等的正負誤差出現的機會相等。

（4）抵償性。由對稱性可導出，偶然誤差的算術平均值，隨觀測次數的無限增加而趨向于零，即

式中 ［Δ］——誤差總和的符號。

換言之，偶然誤差的理論平均值為零。

圖3-1 直方圖

為了充分反映誤差分布的情況，除了上述用表格的形式（稱誤差分布表）表示，還可以用直觀的圖形來表示。如圖3-1中以橫坐標表示誤差的大小，縱坐標表示各區間誤差出現的相對個數除以區間的間隔值。這樣，每一誤差區間上方的長方形面積，就代表誤差出現在該區間的相對個數。例如圖中有陰影的長方形面積就代表誤差出現在+6″～+9″區間內的相對個數0.092。這種圖稱為直方圖，其特點是能形象地反映出誤差的分布情況。

如果繼續觀測更多的三角形，即增加誤差的個數，當n→∞時，各誤差出現的頻率也就趨近于一個完全確定的值，這個數值就是誤差出現在各區間的概率。此時如將誤差區間無限縮小，那么圖3-1中各長方條頂邊所形成的折線將成為一條光滑的連續曲線，如圖3-2所示。這些曲線稱為誤差分布曲線，也叫正態分布曲線。曲線上任一點的縱坐標y均為橫坐標Δ的函數，其函數形式為

式中 e——自然對數的底，e=2.7183；

σ——觀測值的標準差，其幾何意義是分布曲線拐點的橫坐標（將在下節討論），其σ²稱為方差。

圖3-2中有三條誤差分布曲線Ⅰ，Ⅱ及Ⅲ，代表不同標準差σ₁，σ₂及σ₃的三組觀測。由圖中看出，曲線Ⅰ較高而陡峭，表明絕對值較小的誤差出現的概率大，分布密集；曲線Ⅱ、Ⅲ較低而平緩，分布離散。因此，前者的觀測精度高，后兩者則較低。由誤差分布的密集和離散程度，可以判斷觀測的精度。但是求誤差曲線的函數式比較困難，通常由分布曲線的標準差來比較精度。曲線越陡，標準差越小。如圖σ₁＜σ₂＜σ₃，說明曲線Ⅰ的精度最高，曲線Ⅱ的精度其次，曲線Ⅲ的精度最低。

圖3-2 三組觀測分布曲線

1.偶然誤差削弱的方法

（1）適當提高儀器等級。

（2）增加多余觀測，根據閉合差評定測量精度和分配閉合差。

（3）求最可靠值。

2.各種誤差處理原則

（1）粗差（嚴格意義上不能叫誤差）——細心，多余觀測，檢核舍棄。

（2）系統誤差——找出規律，加以改正。

（3）偶然誤差——多余觀測，制定限差。

任務三 衡量精度的指標

由于測量誤差不可避免地存在，那么就必須了解這些誤差對測量成果的影響，考核測量成果是否滿足工程建設的要求。由于誤差表現為偶然性，不能根據個別誤差的大小來評定精度，就需要運用合理的方式建立統一的評定精度的標準。

一、中誤差

觀測誤差的標準差σ，其定義為

用式（3-5）求σ值要求觀測數n趨近無窮大，實際上很難辦到。在實際測量工作中，觀測數總是有限的，一般采用下述公式

式中 m——中誤差；

［ΔΔ］——一組同精度觀測誤差自乘的總和，也可以寫成∑Δ²；

n——觀測數。

比較式（3-5）與式（3-6）可以看出，標準差σ與中誤差 m的不同在于觀測個數的區別，標準差為理論上的觀測精度指標，而中誤差則是觀測數 n為有限時的觀測精度指標。所以，中誤差實際上是標準差的近似值，統計學上又稱估值，隨著 n的增加，m將趨近σ。

【例3-1】 設有兩組同學觀測同一個三角形，每組的三角形內角和觀測成果見表3-2，各觀測10次。試問哪一組觀測成果精度高？

計算過程見表3-2，先算Δ_i，再算，求和，再根據觀測數n計算中誤差。其結果如下

由此可以看出第一組觀測值比第二組觀測值的精度高，因為第二組觀測值中有較大的誤差，用平方能反應較大誤差的影響。因此，測量工作中采用中誤差作為衡量精度的標準。

特別提示：某個觀測值的真誤差小，并不能說明它的精度就高，因為精度高低是由中誤差來衡量的。

二、相對誤差

在測量工作中，有時用中誤差還不能完全表達觀測結果的精度。例如，用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，但不能認為兩者的精度是相同的，因為量距的誤差與其距離的長短有關。為此，用相對中誤差描述觀測值的精度。相對中誤差是觀測值的中誤差與觀測值的比值，通常用分子為1的分數形式表示。上述例子中，前者的相對中誤差為，而后者則為，前者分母大比值小，量距精度高于后者。

在距離測量中，有時也采用往返觀測的較差與觀測值平均值之比來衡量精度，稱為相對誤差。

三、允許誤差

中誤差是反映誤差分布的密集或離散程度的，它代表一組觀測值的精度高低，不是代表個別觀測值的質量。因此，要衡量某一觀測值的質量，決定其取舍，還要引入允許誤差的概念。允許誤差又稱為極限誤差，簡稱限差。偶然誤差的第一特性說明，在一定條件下，誤差的絕對值有一定的限值。根據誤差理論可知，在等精度觀測的一組誤差中，誤差落在區間（-σ，+σ）、（-2σ，+2σ）、（-3σ，+3σ）的概率分別為

式（3-7）說明，絕對值大于兩倍中誤差的誤差，其出現的概率為4.6%，特別是絕對值大于三倍中誤差的誤差，其出現的概率僅0.3%，已經是概率接近于零的小概率事件，或者說是實際上的不可能事件。因此在測量規范中，為確保觀測成果的質量，通常規定三倍或兩倍中誤差為偶然誤差的容許誤差或限差，即

超過上述限差的觀測值應舍去不用，或返工重測。

任務四 觀測值函數的中誤差——誤差傳播定律

上一節根據一組等精度獨立觀測值的真誤差計算觀測值的中誤差。但是在測量工作中，有些未知量往往不能直接測得，而是由某些直接觀測值通過一定的函數關系間接計算而得。例如，水準測量中，測站的高差是由測得的前、后視讀數求得的，即h=a-b。式中高差 h是直接觀測值a、b的函數。由于觀測值a、b客觀上存在誤差，必然使得 h也受其影響而產生誤差。闡述觀測值中誤差與函數中誤差之間關系的定律，稱為誤差傳播定律。現就線性與非線性兩種函數形式分別討論如下。

1.線性函數

線性函數的一般形式為

式中 x₁，x₂，…，x_n——獨立觀測值，其中誤差分別為m₁，m₂，…，m_n；

k ₁，k₂，…，k_n——常數。

設函數Z的中誤差為m_Z，則（略去推導）

2.非線性函數

非線性函數即一般函數，其形式為

對函數取全微分，得

因為真誤差很小，可用真誤差Δx_i代替dx_i，得真誤差關系式

式中，2，…，n）——函數對各變量所取的偏導數，以觀測值代入，所得的值為常數。

因此，式（3-13）成為線性函數的真誤差關系式，仿式（3-10），得函數Z的中誤差為

3.誤差傳播定律的應用

應用誤差傳播定律求觀測值函數的中誤差時，可歸納為如下三步：

（1）按問題的要求寫出函數式

（2）對函數式求全微分，得出函數的真誤差與觀測值真誤差的關系式

式中——用觀測值代入求得的值。

（3）寫出函數中誤差與觀測值中誤差之間的關系式

必須指出：只有自變量之間相互獨立，即觀測值必須是獨立的觀測值，才可以進一步寫出中誤差關系式。否則應作并項或移項處理，使其均為獨立觀測值為止。用數值代入上式時，注意各項的單位要統一。

圖3-3 水準測量平差

【例3-2】 自水準點BM₁向水準點BM₂進行水準測量（圖3-3），設各段所測高差分別為h₁=+3.852±5（mm）；h₂=+6.305±3（mm）；h₃=-2.346±4（mm）。求BM₁、BM₂兩點間的高差及中誤差（其中，后綴±5mm、3mm、4mm為各段觀測高差的中誤差）。

解：（1）列函數式：BM₁、BM₂之間的高差h=h₁+h₂+h₃=7.811（m）。

（2）寫出函數的真誤差與觀測值真誤差的關系式：Δ_h=Δ_h1+Δ_h2+Δ_h3，可見各系數k₁、k₂、k₃ 均為1。

（3）高差中誤差。

【例3-3】 在三角形（圖3-4）中，觀測得斜邊S為100.000m，其觀測中誤差為3mm，觀測得豎直角v為30°，其測角中誤差為3″，求高差h的中誤差。

解：（1）列函數式

（2）寫出函數的真誤差與觀測值真誤差的關系式

圖3-4 三角形示意圖

（3）高差中誤差

任務五 等精度觀測的最或是值計算及精度評定

在相同的觀測條件（人員、儀器、觀測時的外界條件）下進行的觀測，稱為等精度觀測。在不同的觀測條件下進行的觀測，稱為不等精度觀測。

一、等精度觀測的最或是值計算

一個被測量的物理量，如一個角度、一段距離、兩點的高差等，它們的真值是無法知道的，只有經過多次重復測量，才能得到近似于真值的可靠值，稱為最或是值，即似真值。

設在相同的觀測條件下，對某未知量X進行了n次觀測，觀測值為l₁，l₂，…，l_n

將上式求和后除以n，得

當n→∞時，根據偶然誤差第（4）特性

則

即n趨近無窮大時，算術平均值即為真值。

在實際工作中，觀測次數總是有限的，所以算術平均值不可視為所求量的真值；但隨著觀測次數的增加，算術平均值是趨近于真值的，故認為是該值的最可靠值（最或是值）。

最或是值與觀測值之差稱為改正數v_i。

求和

即改正數總和為零。可用式（3-17）作計算中的檢核。

二、用改正數計算觀測值的中誤差

前面給出了評定精度的中誤差公式

式中

真值X有時是知道的，例如三角形三個內角之和為180°，但更多情況下，真值是不知道的。因此，真誤差也就無法知道，故不能直接用上式求出中誤差。觀測值的最或是值可以求得，觀測值的改正數v_i根據式（3-16）也可以求得，所以，實際工作中可以利用觀測值的改正數來計算觀測值的中誤差。公式推導如下

將上兩式合并得

令

則

上式等號兩邊平方求和再除以n，得

得

其中

當n→∞時，上式右端第二項趨于0，則

將上式代入式（3-18）得

式（3-19）為同精度觀測中用觀測值的改正數計算觀測值中誤差的公式，稱為白塞爾公式。

【例3-4】 對一段距離進行5次觀測，其觀測結果見表3-3，求該組距離觀測值的中誤差。

解：

三、等精度觀測的最或是值（算術平均值）的中誤差

由前述可知，等精度觀測的最或是值就是算術平均值，要評定它的精度，可以把算術平均值看成是各個觀測值的線性函數。

【例3-5】 算術平均值，已知：各觀測值的中誤差為m₁=m₂=…=m_n=m，求最或是值 （算術平均值）的中誤差。

解：將算術平均值表達式求全微分

根據誤差傳播定律有

特別提示：

1.由式（3-20）可以看出，算術平均值的中誤差一定小于單次觀測值的中誤差，即平差后精度一定會有所提高。

2.觀測次數越多，平差值的中誤差越小，精度越高。

【例3-6】 設對某距離丈量了6次，其結果為140.324，140.319，140.320，140.311，140.301，140.316，見表3-4。試求其結果的最或是值、算術平均值中誤差及其相對中誤差。

解：首先計算最或是值（算術平均值）

算術平均值中誤差

相對中誤差

【例3-7】 用三角形閉合差求測角中誤差m（誤差傳播定律的逆向應用，先利用真誤差求函數值的中誤差，再推求觀測值的中誤差），已知各三角形內角和見表3-5，并計算出閉合差。

解：利用真誤差求函數值的中誤差 （三角形閉合差的中誤差），得±7.0″

列函數式為

真誤差（閉合差）Δ=A+B+C-180°（三個內角A、B、C為等精度觀測）

設

則

測角中誤差

任務六 不等精度觀測的最或是值計算及精度評定

1.權的概念

前面討論的都是等精度觀測，但在實際工作中，還會遇到不等精度觀測的情況。所謂不等精度觀測是指在不同條件下進行的觀測。這時各觀測值的可靠程度不同，即精度不同。因此不能采用算術平均值作為最終結果，需要引進“權”的概念。權是用來比較各觀測值可靠程度的一個相對性數值，常用字母P表示。權越大表示精度越高。

例如在相同條件下分兩組對某一水平角進行觀測，第一組觀測4個測回，第二組觀測6個測回。并設一測回觀測值的中誤差m=±2.0″，則其算術平均值的中誤差分別為

由此可見，第二組平均值的中誤差小，結果比較可靠，應有較大的權。因此可以根據中誤差來規定觀測結果的權。權的計算公式為

式中 λ——任意常數。選擇適當的λ，可使權成為便于計算的數，例如選第一組觀測次

數為λ，即λ=4，則

在水準測量中，由于水準路線越長，誤差越大，故觀測值的權與水準路線的長度成反比。例如設每公里水準路線的觀測中誤差為m，若觀測L公里，其中誤差為，設λ=m²，則其權為。

2.不等精度觀測的平均值

對未知量X進行了n次不同精度觀測，各觀測值為L₁，L₂，…，L_n其相應的權P₁，P₂，…，P_n，按加權平均值的方法，求算未知量的最或是值為

3.單位權中誤差與加權平均值的中誤差

權是表示觀測值的可靠性的相對指標，因此，可取任一觀測值的權作為標準，以求其他觀測值的權。如取，則

等于1的權稱為單位權，它所對應的觀測值中誤差稱為單位權中誤差，設單位權中誤差為μ，則權與中誤差的關系為

如果用觀測值改正數計算單位權中誤差，可按式（3-23）計算

在式 （3-22）中，均為常數，如已知各觀測值L₁，L₂，…，L_n的中誤差分別為m₁ ，m₂ ，…，m_n，則根據誤差傳播定律，可推算出加權平均值的中誤差為

因為

所以

代入上式得

則加權平均值的中誤差為

【例3-8】 某角度采用不同測回數進行三組觀測，每組的觀測值列于表3-6，試求該角度的加權平均值及其中誤差。

解：

加權平均值為

習題

1.測量誤差的來源有哪些方面？

2.偶然誤差和系統誤差有什么不同？各有什么特點？

3.在相同的觀測條件下，對同一量進行了若干次觀測，問這些觀測值的精度是否相同？此時能否將誤差小的觀測值理解為比誤差大的觀測值的精度高？

4.中誤差和相對中誤差是怎么定義的？

5.設在相同的觀測條件下，對一距離進行了6次觀測，其結果為341.752m、341.784m、341.766m、341.773m、341.795m、341.774m。試求其算術平均值、算術平均值中誤差和相對中誤差。

6.在水準測量中，若水準尺上每次讀數中誤差為±2.0mm，則每站高差中誤差是多少？

7.若一方向的觀測中誤差為±6″，且每個角度都是作為兩個方向之差求得的，求五邊形中5個內角和的中誤差。

8.用經緯儀觀測某角4個測回，如果一個測回測角中誤差為±6″，求該角的中誤差。

9.在同精度觀測中，對某角觀測4個測回，得其平均值的中誤差為±15″，若使平均值的中誤差小于±10″，至少應觀測多少測回？

10.x、y、z的關系式為z=3x+4y，現獨立觀測x、y，它們的中誤差分別為m_x=±3mm，m_y=±4mm，求z的中誤差m_z。

圖3-5 D點示意圖

11.如圖3-5所示，D點高程分別由A、B、C求得，各為39.222m，39.285m，39.274m，求D點高程及中誤差。