3.6 液體無旋流動(dòng)

當(dāng)液體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的3個(gè)分量ωx=ωy=ωz=0時(shí)，即

則該流動(dòng)為無旋流動(dòng)，也稱有勢流動(dòng)。

嚴(yán)格地說，黏性液體的運(yùn)動(dòng)都是有旋流動(dòng)，只有在液體為不可壓縮理想液體，運(yùn)動(dòng)初始無旋時(shí)，液體才將繼續(xù)保持無旋流動(dòng)。在實(shí)際流動(dòng)中，水庫中的靜水，因閘門開啟形成的閘孔出流或堰流；以及水繞物體流動(dòng)時(shí)，在邊界層外的廣闊區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)，都可視為無旋流動(dòng)。

3.6.1 速度勢函數(shù)

當(dāng)液流為無旋流動(dòng)時(shí)，流場中各點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度ω=0，即ω的3個(gè)分量ωx=ωy=ωz=0，由式 （3.34）得：。由高等數(shù)學(xué)中的曲線積分定理可知，前式是uxdx+uydy+uzdz存在全微分的充分和必要條件，于是一定存在某一函數(shù)φ（x，y，z）滿足關(guān)系式：

而φ(x，y，z)的全微分又可寫為

比較上式與式（3.35）可得

由高等數(shù)學(xué)可知，函數(shù)φ稱為速度u的勢函數(shù)，簡稱速度勢函數(shù)。由此可見，無旋流動(dòng)必然存在速度勢函數(shù)，故無旋流動(dòng)又稱有勢流動(dòng)。對無旋流動(dòng)，一旦求出速度勢函數(shù)，由式（3.36）即可求得流場的速度分布，進(jìn)而解得流場的壓強(qiáng)分布，問題得到解決。

速度勢函數(shù)具有以下主要性質(zhì)。

（1）存在速度勢函數(shù)φ的流動(dòng)一定是無旋流動(dòng)。若流動(dòng)存在勢函數(shù)φ，則有

將其代入旋轉(zhuǎn)角速度ωx=中，可得

同樣可證，ωy=ωz=0，故存在速度勢函數(shù)φ的流動(dòng)一定是無旋流動(dòng)。

（2）等勢面與流線正交。速度勢函數(shù)值相等的點(diǎn)連成的空間曲面稱為等勢面。等勢面方程可寫為

式中 C——常數(shù)。

如圖3.21所示，在等勢面上任取一點(diǎn)A，并在等勢面上A點(diǎn)的鄰域內(nèi)另取點(diǎn)B，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的矢量記為dl，設(shè)矢量dl在3個(gè)坐標(biāo)軸上投影分別為dx、dy、dz，則dl=dxi+dyj+dzk。A點(diǎn)處速度矢量u=uxi+uyj+uzk，則

式中dφ為A、B兩點(diǎn)勢函數(shù)之差，由于A、B兩點(diǎn)在同一等勢面上，因而這兩點(diǎn)勢函數(shù)值相等，即dφ=0，u·dl=0，說明矢量u與dl正交。因B點(diǎn)在等勢面上的位置事實(shí)上是任意的，則速度矢量u與過A點(diǎn)的曲面上任意微線段均正交，即u在A點(diǎn)與等勢面正交。通過A點(diǎn)的流線與A點(diǎn)處速度矢量相切，由此可知等勢面必與流線正交，等勢面就是過水?dāng)嗝妗?/p>

（3）速度勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。將式 （3.36）代入不可壓縮液體三維流動(dòng)的連續(xù)性方程，可得

Δ2稱為拉普拉斯算子，式（3.38）是拉普拉斯方程。速度勢函數(shù)φ滿足拉普拉斯方程，為調(diào)和函數(shù)。

3.6.2 流函數(shù)

液體三維流動(dòng)一般不與流函數(shù)這一概念相聯(lián)系，而對于不可壓縮液體的平面流動(dòng)，流函數(shù)ψ卻是一個(gè)很重要的概念。設(shè)液流作xOy平面運(yùn)動(dòng)，對于不可壓縮液體，其連續(xù)性微分方程為

移項(xiàng)得

根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的曲線積分定理，上式是表達(dá)式-uydx+uxdy成為某一函數(shù)ψ（x，y）的全微分的充分和必要條件：

而ψ(x，y) 的全微分又可寫為

比較上式與式（3.39）可得

函數(shù)ψ(x，y)稱為流函數(shù)。由流函數(shù)的引出條件可知，對于不可壓縮液體的平面流動(dòng)，只要連續(xù)性微分方程成立，不論無旋流動(dòng)或有旋流動(dòng)，都存在流函數(shù)。

流函數(shù)具有以下主要性質(zhì)：

（1）同一流線的流函數(shù)ψ是常數(shù)，流函數(shù)的等值線是流線。液體平面流動(dòng)的流線方程為

即-uydx+uxdy=0

比較上式和式（3.35）可得，沿流線：

dψ=-uydx+uxdy=0

ψ(x，y)=∫dψ=∫-uydx+uxdy=C

上式中C為常數(shù)。故同一流線的流函數(shù)是常數(shù)，流函數(shù)的等值線是流線。給流函數(shù)以不同值，便得到流線簇。

（2）不可壓縮液體平面流動(dòng)中，兩條流線的流函數(shù)的差值，等于通過該兩條流線間的單寬流量，如圖3.22所示，在流函數(shù)值為ψA、ψB的兩條流線間，任作曲線AB，在AB上沿A到B的方向取有向微元線段dl，其流速為u。設(shè)dl在x和y軸方向的投影為dx和dy，u在x和y軸方向的投影為ux和uy，取dx、dy、ux、uy與x、y軸的正向同向?yàn)檎?，由圖3.16可知，dx、dy、ux為正、uy為負(fù)。因是平面流動(dòng)，在z方向可取單位寬度，則流過dl微元曲面的流量稱為單寬流量，以dq表示。dl微元曲面可視為平面，有

dq=-uydx+uxdy

對比式（3.35），可得

dq=-uydx+uxdy=dψ

則通過兩流線間的單寬流量為

（3）平面有勢流動(dòng)，流函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。對于xOy平面有勢流動(dòng)：

將代入上式，得

平面有勢流動(dòng)的流函數(shù)ψ滿足拉普拉斯方程，為調(diào)和函數(shù)。

比照式（3.36）和式（3.40），可得平面有勢流動(dòng)勢函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系：

φ和ψ的這一關(guān)系，在數(shù)學(xué)上稱為柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）條件。φ、ψ滿足拉普拉斯方程和柯西-黎曼條件，是一對共軛調(diào)和函數(shù)。

當(dāng)勢流的流速分布未知時(shí)，可以根據(jù)液流的邊界條件和初始條件，解φ或ψ的拉普拉斯方程，從而求得流速場，再設(shè)法求其壓強(qiáng)場。

【例3.5】 不可壓縮液體平面流動(dòng)，速度分布為ux=4x+1，uy=-4y。試求：（1）判斷速度勢函數(shù)φ、流函數(shù)ψ是否存在?（2）若φ、ψ存在，求φ、ψ。

解：（1）因=4-4=0，流動(dòng)滿足連續(xù)性方程，故流函數(shù)ψ存在。

因ωz==0，流動(dòng)有勢，故勢函數(shù)φ存在。

（2）因dφ=uxdx+uydy=（4x+1）dx+（-4y）dy

dψ=-uydx+uxdy=4ydx+(4x+1)dy

由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，速度勢函數(shù)φ和流函數(shù)ψ可以通過積分獲得，而且積分結(jié)果都與積分路徑無關(guān)，在任意起點(diǎn)（x0，y0）與終點(diǎn)（x，y）之間，可選擇最簡單的兩段路徑積分。由于積分常數(shù)C對流場無影響，一般取C=0。

3.6.3 速度勢函數(shù)和流函數(shù)的極坐標(biāo)表達(dá)式

有些平面勢流采用極坐標(biāo)來分析要方便得多。下面介紹速度勢函數(shù)φ和流函數(shù)ψ的極坐標(biāo)表達(dá)式。

取平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)與極坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，平面直角坐標(biāo)系的x軸與極坐標(biāo)系的極軸重合，則平面直角坐標(biāo)（x，y）與極坐標(biāo)（r，θ）有如下關(guān)系：

已知速度勢函數(shù)的直角坐標(biāo)表達(dá)式：

dφ=uxdx+uydy

對上式進(jìn)行坐標(biāo)變換，便可得到速度勢函數(shù)的極坐標(biāo)表達(dá)式:

同理可得流函數(shù)的極坐標(biāo)表達(dá)式:

3.6.4 基本平面勢流

基本平面勢流一般是指流場變化簡單，通過對流場的直觀分析，便可得到速度勢函數(shù)和流函數(shù)的簡單勢流。利用基本平面勢流疊加，能夠得到許多復(fù)雜平面勢流的速度勢函數(shù)和流函數(shù)。

1.均勻等速流動(dòng)

均勻等速流動(dòng)是流場中各點(diǎn)速度大小相等，方向相同的流動(dòng)，是最簡單的平面勢流。

設(shè)xOy平面上的均勻等速流動(dòng)，速度方向與x軸的正向一致，速度大小ux=U0（U0為常數(shù)），uy=0。則

dφ=uxdx+uydy=U0dx

積分上式即可得到速度勢函數(shù):

積分上式即可得到流函數(shù):

由式（3.47）可知，均勻流的等勢線方程為

φ=U0x=C1

式中C1為常數(shù)，等勢線為平行于y軸的一簇直線。

由式（3.48）可知，均勻流的流線方程為

ψ=U0y=C2

式中C2為常數(shù)，流線為平行于x軸的一簇直線。

2.源流與匯流

如圖3.23（a）所示，假設(shè)不可壓縮液體從平面上的一點(diǎn)O流出，均勻地向四周作徑向直線流動(dòng)，這樣的流動(dòng)稱為源流，O點(diǎn)稱為源點(diǎn)，由源點(diǎn)流出的單位厚度流量q稱為源流強(qiáng)度。

把源看作一個(gè)點(diǎn)，則任意點(diǎn)M（r，θ）的流速為

由式（3.43），可得

積分得

由式（3.45），可得

積分得:

由式（3.49）可知，源流的等勢線方程為

式中C1為常數(shù)，等勢線是以O點(diǎn)為圓心的同心圓。

由式（3.50）可知，源流的流線方程為

式中C2為常數(shù)，流線是由O點(diǎn)引出的射線。

平面直角坐標(biāo)系下，源流的速度勢函數(shù)與流函數(shù)分別為

如圖3.23（b）所示，假設(shè)不可壓縮液體從四周沿徑向均勻地流入點(diǎn)O。這樣的流動(dòng)稱為匯流，O點(diǎn)稱為匯點(diǎn)，流入?yún)R點(diǎn)的單位厚度流量稱為匯流強(qiáng)度，以-q表示。顯然，匯流的速度勢函數(shù)和流函數(shù)公式與源流相同，符號(hào)相反，即

平面直角坐標(biāo)系下，匯流的速度勢函數(shù)與流函數(shù)：

源流和匯流是一種理想化的流動(dòng)，在源點(diǎn)或匯點(diǎn)r→0，ur→∞是不可能的，這樣的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。忽略原點(diǎn)附近的影響，工程中注水井向地層注水，可看作是源流流動(dòng)，地下水從四周向汲水井匯集，可看作是匯流流動(dòng)。

3.環(huán)流

不可壓縮液體繞固定點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，且速度與圓周半徑成反比，這樣的流動(dòng)稱為環(huán)流。如圖3.24所示，將坐標(biāo)原點(diǎn)置于環(huán)流中心，由于環(huán)流的流線為一簇同心圓，因此任一點(diǎn)M（r，θ）的徑向流速ur=0。則沿流線的速度環(huán)量：

Γ為沿環(huán)流流線的速度環(huán)量，稱為環(huán)流強(qiáng)度。Γ是不隨半徑r變化的常數(shù)，Γ＞0時(shí)環(huán)流逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，Γ＜0時(shí)環(huán)流順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

任意點(diǎn)M（r，θ）的流速:

由式（3.39），可得

積分得

由式（3.45），可得

積分得

令速度勢函數(shù)與流函數(shù)等于常數(shù)，得到等勢線是通過原點(diǎn)的極角不同的射線，而流線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓。

平面直角坐標(biāo)系下，環(huán)流的速度勢函數(shù)與流函數(shù)：

3.6.5 勢流的疊加

可疊加性是勢流的重要特性之一。幾個(gè)基本平面勢流疊加組合成較為復(fù)雜的流動(dòng)仍為勢流，簡稱復(fù)合勢流。復(fù)合勢流的速度勢函數(shù)φ等于幾個(gè)基本平面勢流的速度勢函數(shù)φ1、φ2、…、φn的代數(shù)和，它的流函數(shù)ψ等于幾個(gè)基本平面勢流的流函數(shù)ψ1、ψ2、…、ψn的代數(shù)和，它的速度u等于幾個(gè)基本平面勢流的速度u1、u2、…、un的矢量和，即

φ=φ1+φ2+…+φn

ψ=ψ1+ψ2+…+ψn

u=u1+u2+…+un

上述即為勢流疊加原理。在工程實(shí)際中常利用勢流疊加原理來解決一些較為復(fù)雜的勢流問題。

1.均勻等速流和源流的疊加

設(shè)無窮遠(yuǎn)處均勻等速流速度為U0，平行于x軸，為簡便起見，將點(diǎn)源放在坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖3.25所示。

均勻等速流的速度勢函數(shù)和流函數(shù):

φ1=U0x=U0rcosθ

ψ1=U0y=U0rsinθ

源流的速度勢函數(shù)和流函數(shù):

均勻等速流與源流疊加后的復(fù)合勢流，其速度勢函數(shù)和流函數(shù):

復(fù)合勢流的速度:

令uθ=0，可得θ=0或θ=π。

令ur=0，可得r=，當(dāng)θ=0時(shí)，r＜0，顯然這是不可能的，所以駐點(diǎn)S的坐標(biāo)為θ=π，rs=。

將駐點(diǎn)坐標(biāo)代入式 （3.59），得流函數(shù)，即復(fù)合勢流通過駐點(diǎn)的流線的流函數(shù)值為，則通過駐點(diǎn)的流線方程為

給出各θ值，即可由上式繪出通過駐點(diǎn)的流線BSC，如圖3.19所示，其中：

當(dāng)。

當(dāng)θ=π時(shí)，。

當(dāng)θ→0或θ→2π時(shí)，流線以為漸近線。

注意：θ=π時(shí)，sinθ=0，由式（3.63）可得，r為任何值時(shí)該式都能滿足，故通過駐點(diǎn)S的流線除了BSC段，水平線AS也是流線的一部分。

如圖3.25所示，流線BSC將流場分為兩個(gè)流區(qū)，內(nèi)部流區(qū)為源流，外部流區(qū)為均勻流，兩者互不相混，因此流線BSC可看作是一條分水線。若用固體邊界如橋墩的輪廓線來代替分水流線BSC，外部流線圖就是均勻流繞橋墩時(shí)的流動(dòng)圖形。

2.等強(qiáng)度源流和匯流的疊加——偶極子流

在平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)（-a，0）處設(shè)一源流，強(qiáng)度為q，點(diǎn)（a，0）處設(shè)一匯流，強(qiáng)度為-q，其中a＞0，q＞0。因式（3.51）、式（3.52）、式（3.55）、式（3.56）是源流與匯流位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)速度勢函數(shù)和流函數(shù)的直角坐標(biāo)表達(dá)式，若源流和匯流不在坐標(biāo)原點(diǎn)而在平面上點(diǎn)（x0，y0）處時(shí)，則源流的速度勢函數(shù)和流函數(shù)分別為

匯流的速度勢函數(shù)和流函數(shù)分別為

根據(jù)勢流疊加原理，即可得此處源流與匯流所疊加的復(fù)合勢流的速度勢函數(shù)和流函數(shù)：

設(shè)源點(diǎn)與匯點(diǎn)沿x軸無限接近，即令2a→0，同時(shí)設(shè)q無限增長，這樣就能保證乘積2aq始終保持為一常數(shù)M，M=2aq。這一極限狀態(tài)下源匯產(chǎn)生的平面流動(dòng)稱為偶極子流，M稱偶極子強(qiáng)度（M>0）。在a→0和q→∞的條件下，偶極子流動(dòng)的勢函數(shù)與流函數(shù)為

利用平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系，可以得到偶極子流動(dòng)的速度勢函數(shù)與流函數(shù)的極坐標(biāo)表達(dá)式:

下面討論偶極子流動(dòng)的等勢線和流線的特征：

令式（3.64）等于常數(shù)C，方程簡化后可以得到等勢線方程為

等勢線是圓心在，半徑為的圓，圓與y軸相切于原點(diǎn)。當(dāng)C＞0時(shí)，圓位于y軸右側(cè)，否則位于y軸左側(cè)。

令式（3.65）等于常數(shù)D，方程簡化后可以得到流線方程為

流線是圓心在，半徑為的圓，圓與x軸相切于原點(diǎn)。當(dāng)D＞0時(shí)，圓位于x軸下方，否則位于x軸上方。

這樣所到的等勢線組與流線組是正交的，如圖3.26所示。