3.5 液體有旋運動簡介

當液體微團旋轉角速度ω≠0時，這樣的流動為有旋流動，也稱有渦流動。

必須注意，液體微團是無旋還是有旋，取決于液體微團自身是否旋轉，而與微團的運動軌跡無關。如圖3.18所示，圖3.18（a）中微團運動軌跡是圓，但微團自身不旋轉，因此是無旋流動；圖3.18（b）中微團運動軌跡是直線，但微團繞基點軸旋轉，因此是有旋流動。

在研究有旋流動的渦場時，可以類似速度場定義流線、流管、流束、流量等那樣，引入渦線、渦管、渦束、渦通量等概念。

3.5.1 渦線、渦管、渦束

如圖3.19所示，某一瞬時，在渦場中存在一條假想的空間幾何曲線，曲線上各質點的旋轉角速度矢量ω都與該點的曲線相切，滿足這種條件的曲線稱為渦線。

與流線類似，根據渦線的定義，可得渦線微分方程：

與流線相似，同一瞬時，渦線不能相交，也不能突然轉折。在渦場中任取一條不與渦線重合的封閉曲線，過封閉曲線上各點作渦線，所構成的管狀曲面稱為渦管。渦管內充滿了互不相交的渦線，渦管中任一與所有渦線都正交的曲面稱為渦管斷面。在渦管斷面上任取一微元面積，通過該微元面積各點作出一束渦線，稱作元渦。同一元渦橫斷面上各點的旋轉角速度可以認為是相等的。通過渦管斷面的所有元渦，組成渦管的渦束。

3.5.2 渦量、渦通量、速度環量及斯托克斯定理

渦量就是速度的旋度，用符合Ω表示，則

式中——哈密頓算子；

Δ×u——速度u的旋度。

渦通量亦稱渦旋強度，簡稱渦強，用符號I表示。元渦的渦通量為

如果總渦管斷面面積為A，平均渦量為Ω，當Ω與A的方向一致時，I=∫AΩ·dA=ΩA。由于渦線不能相交，沒有渦量穿越渦管側面，所以沿渦管各斷面的渦通量相等，即Ω1A1=Ω2A2。

與旋渦運動有關的另一個重要概念是速度環量。如圖3.20所示，在流場中任取一封閉曲線L，流速沿著該曲線L的積分，稱為沿曲線L的速度環量，用符號Γ表示，則

速度環量Γ可正可負，其正負與流場的速度方向和沿曲線積分的繞行方向有關，規定線積分的繞行方向為逆時針方向，如果在周界L上切向速度與繞行方向一致，則速度環量Γ為正，否則為負。

速度環量可通過斯托克斯（Stokes）定理與渦通量聯系起來。設曲面A以封閉曲線L為周界，則可以證明（證明從略）：

上述定理指出：沿某一封閉曲線速度環量，等于通過以該曲線為周界的任意曲面的渦通量。利用斯托克斯定理，可通過分析速度環量來研究渦旋運動。當速度環量Γ≠0時，可判斷相應區域內必然存在有旋流動，但也可能在該區域內的局部出現無旋流動；當Γ=0時，僅表示區域內總渦通量I=0，可能區域內處處無旋，也可能存在大小相等、方向相反的渦量，使渦量正負抵消。