3.4 液體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析

液體微團(tuán)和液體質(zhì)點(diǎn)是兩個(gè)不同的概念。根據(jù)連續(xù)介質(zhì)模型可知，液體是由無數(shù)連續(xù)分布的液體質(zhì)點(diǎn)組成，液體質(zhì)點(diǎn)宏觀尺寸非常小，是可以忽略尺度效應(yīng)的最小單元。而大量連續(xù)分布的液體質(zhì)點(diǎn)組成液體微團(tuán)，液體微團(tuán)具有尺度效應(yīng)，即可產(chǎn)生多種運(yùn)動(dòng)形式。液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)比剛體復(fù)雜，它除了與剛體一樣有平移和轉(zhuǎn)動(dòng)外，還有變形運(yùn)動(dòng)（包括線變形和角變形）。也就是說，液體微團(tuán)具有平移、線變形、角變形和旋轉(zhuǎn)4種基本運(yùn)動(dòng)形式。

本節(jié)研究液體微團(tuán)的速度分解和液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)組成，為后續(xù)有勢(shì)流動(dòng)和有旋流動(dòng)的分析與研究打下基礎(chǔ)。

3.4.1 亥姆霍茲速度分解定理

設(shè)某瞬時(shí)t，在液體內(nèi)任取一液體微團(tuán)，在微團(tuán)中任取空間點(diǎn)M（x，y，z），在t瞬時(shí)M點(diǎn)處的速度為u，它的3個(gè)速度分量分別為ux、uy、uz。在微團(tuán)中M點(diǎn)鄰域內(nèi)另取空間點(diǎn)M′，M′點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為x+dx、y+dy、z+dz，速度設(shè)為u′，3個(gè)速度分量分別為，則均可按泰勒級(jí)數(shù)展開，并略去高階無窮小，表示為

為進(jìn)一步研究液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形式，將式（3.21）的各分式分別加減相同項(xiàng)，整理得：

簡(jiǎn)寫為

式（3.22）和式（3.23）稱為亥姆霍茲速度分解定理。

式（3.23）3個(gè)分式右邊第一項(xiàng)ux、uy、uz稱為平移速度；第二項(xiàng)為液體線變形運(yùn)動(dòng)引起的速度增量，εxx、εyy、εzz稱為線變形速度，其中

第三項(xiàng)括號(hào)內(nèi)為液體角變形運(yùn)動(dòng)引起的速度增量，εxy、εxz、εyz、εyx、εzx、εzy稱為角變形速度，其中

第四項(xiàng)括號(hào)內(nèi)為液體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)引起的速度增量，ωx、ωy、ωz稱為旋轉(zhuǎn)角速度，其中

通過上述亥姆霍茲速度分解定理，我們可以很容易地分析出液體運(yùn)動(dòng)到底是哪一種運(yùn)動(dòng)形式或者是哪幾種運(yùn)動(dòng)形式的組合。

3.4.2 液體微團(tuán)各項(xiàng)速度的意義

為清楚地說明問題，下面以較簡(jiǎn)單的液體微團(tuán)平面流動(dòng)為例，說明式（3.23）中各項(xiàng)速度的意義。在流場(chǎng)中任取矩形液體微團(tuán)ABCD，設(shè)A點(diǎn)（相當(dāng)于前述的M點(diǎn)）的兩個(gè)速度分量分別為ux、uy，對(duì)于平面流動(dòng)，因εzz=εyz=εzy=εzx=εxz=ωx=ωy=0，則它鄰域內(nèi)任一點(diǎn)（如B、C、D點(diǎn)，相當(dāng)于前述的M′點(diǎn)）的兩個(gè)速度分量根據(jù)式（3.23）可簡(jiǎn)化為

建立xOy坐標(biāo)系，矩形液體微團(tuán)ABCD各邊與相應(yīng)坐標(biāo)軸平行。下面分析該液體微團(tuán)的某項(xiàng)速度的意義時(shí)，是假設(shè)其他運(yùn)動(dòng)不存在的情況下分析的。

1.平移運(yùn)動(dòng)

討論平移，可先假設(shè)線變形、角變形和旋轉(zhuǎn)3種運(yùn)動(dòng)不存在，即εxx=εxy=εyx=εyy=ωz=0。設(shè)基點(diǎn)A點(diǎn)速度為ux、uy，A點(diǎn)鄰域內(nèi)B、C、D點(diǎn)的速度均可表示為，由式 （3.27）可知，，即A、B、C、D各點(diǎn)的速度相同，都是ux、uy，實(shí)際上微團(tuán)各點(diǎn)速度均為ux、uy。

如圖3.17（a）所示，經(jīng)過dt時(shí)段，矩形液體微團(tuán)ABCD平移到A′B′C′D′，液體質(zhì)點(diǎn)在x、y方向平移的位移分別為x=uxdt，y=uydt，由分析可知，矩形液體微團(tuán)平移運(yùn)動(dòng)僅僅是在xOy平面上從一個(gè)位置移到另一個(gè)位置，大小、形狀均未發(fā)生改變。

同理，對(duì)于三維流場(chǎng)，液體質(zhì)點(diǎn)在x、y、z方向平移的位移分別為x=uxdt，y=uydt，z=uzdt。液體微團(tuán)在三維空間中從一個(gè)位置平移到另一個(gè)位置，大小、形狀也不發(fā)生改變。

2.線變形運(yùn)動(dòng)

同理，討論線變形，假設(shè)平移、角變形和旋轉(zhuǎn)3種運(yùn)動(dòng)不存在，即ux=uy=εxy=εyx=ωz=0。設(shè)基點(diǎn)A點(diǎn)速度為ux=0、uy=0，由式 （3.27）可知，A點(diǎn)鄰域內(nèi)任一點(diǎn)的速度可表示為。由于與dx、dy有關(guān)，所以B、C、D各點(diǎn)的速度要具體計(jì)算。由計(jì)算可得

B點(diǎn)速度：。

C點(diǎn)速度：。

D點(diǎn)速度：。

如圖3.17（b）所示，經(jīng)過dt時(shí)段，因A點(diǎn)速度為0，故A處液體質(zhì)點(diǎn)保持不動(dòng)；B點(diǎn)處液體質(zhì)點(diǎn)沿x方向向右移動(dòng)位移=εxxdxdt，即矩形液體微團(tuán)ABCD的AB邊沿x方向伸長(zhǎng)εxxdxdt；若不考慮液體的膨脹性，則D點(diǎn)處液體質(zhì)點(diǎn)沿y方向向下移動(dòng)位移=εyydydt，即矩形液體微團(tuán)ABCD的AD邊沿y方向縮短εyydydt；C點(diǎn)處液體質(zhì)點(diǎn)沿x方向向右移動(dòng)位移εxxdxdt的同時(shí)沿y方向向下移動(dòng)位移εyydydt。由分析可知，經(jīng)過dt時(shí)段，矩形液體微團(tuán)ABCD變形為AB′C′D′，我們將液體微團(tuán)的這種伸縮變形運(yùn)動(dòng)稱為液體線變形運(yùn)動(dòng)。

其中，是單位時(shí)間液體微團(tuán)x方向的相對(duì)線變形量，稱為x方向的線變形速度。同理，是液體微團(tuán)在y、z方向的線變形速度。

3.角變形運(yùn)動(dòng)

討論角變形運(yùn)動(dòng)，假設(shè)平移、線變形和旋轉(zhuǎn)3種運(yùn)動(dòng)均不存在，即ux=uy=εxx=εyy=ωz=0。同樣，設(shè)基點(diǎn)A點(diǎn)速度為（0，0），由式（3.27）可知，A點(diǎn)鄰域內(nèi)任一點(diǎn)的速度可表示為。則由計(jì)算可得

B點(diǎn)速度：。

C點(diǎn)速度：。

D點(diǎn)速度：。

如圖3.17（c）所示，經(jīng)過dt時(shí)段，A點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)不動(dòng)；設(shè)εxy=εyx＞0，則B點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)沿y方向向上移動(dòng)位移εyxdxdt；D點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)沿x方向向右移動(dòng)位移εxydydt；C點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)位移εxydydt的同時(shí)向上移動(dòng)位移εyxdxdt。在dt時(shí)段內(nèi)，AB邊向上轉(zhuǎn)動(dòng)微小角度dα，AD邊向右轉(zhuǎn)動(dòng)微小角度dβ。由幾何關(guān)系可知：

因εxy=εyx，所以dα=dβ，AB邊和AD邊相向而轉(zhuǎn)，由矩形液體微團(tuán)ABCD變形為平行四邊形AB′C′D′，我們將液體微團(tuán)的這種變形稱為液體角變形運(yùn)動(dòng)。

εxy=εyx=是液體微團(tuán)在xOy平面上的角變形速度。同理，εyz=εzy=則分別是微團(tuán)在yOz、zOx平面上的角變形速度。

4.旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)

討論旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，假設(shè)平移、線變形和角變形3種運(yùn)動(dòng)均不存在，即ux=uy=εxx=εyy=εxy=εyx=0。A點(diǎn)速度仍為（0，0），由式（3.27）可知，A點(diǎn)鄰域內(nèi)任一點(diǎn)的速度可表示為。則由計(jì)算可得

B點(diǎn)速度：。

C點(diǎn)速度：。

D點(diǎn)速度：。

如圖3.17（d）所示，A點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)不動(dòng)；設(shè)ωz＞0，則B點(diǎn)處液體質(zhì)點(diǎn)沿y方向向上移動(dòng)位移ωzdxdt；D點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)沿x方向向左移動(dòng)位移ωzdydt；C點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)向左移動(dòng)位移ωzdydt的同時(shí)向上移動(dòng)位移ωzdxdt。在dt時(shí)段內(nèi)，AB邊向上轉(zhuǎn)動(dòng)微小角度dα，AD邊向左轉(zhuǎn)動(dòng)微小角度dβ。由幾何關(guān)系可知：

由此得dα=dβ，AB邊和AD邊以相同的角速度ωz繞A點(diǎn)同向旋轉(zhuǎn)，即液體微團(tuán)以ωz角速度逆時(shí)針繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。我們將液體微團(tuán)的這種運(yùn)動(dòng)稱為液體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

ωz=是液體微團(tuán)繞平行于Oz軸的基點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)角速度。同理，ωx=是微團(tuán)繞平行于Ox、Oy軸的基點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)角速度。

由以上分析，說明了亥姆霍茲速度分解定理的物理意義，將液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解為平移、線變形、角變形和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)4種形式，并描述其各自的運(yùn)動(dòng)特征。

根據(jù)液體微團(tuán)自身是否旋轉(zhuǎn)，將流體運(yùn)動(dòng)分為無旋流動(dòng)和有旋流動(dòng)兩種類型。由于兩類流動(dòng)的規(guī)律性和計(jì)算方法不同，后面章節(jié)將對(duì)無旋流動(dòng)和有旋流動(dòng)分別展開討論。

【例3.4】 已知水平等直徑圓管中的恒定均勻?qū)恿鳎俣确植既缦拢?/p>

其中：r0為圓管直徑，J為水力坡度，υ為運(yùn)動(dòng)黏度。

試分析：（1）液體質(zhì)點(diǎn)的變形情況；（2）液流是否作有旋流動(dòng)。

解：（1）液體質(zhì)點(diǎn)的變形情況。

1)液體質(zhì)點(diǎn)的線變形率：

因此，液體質(zhì)點(diǎn)不發(fā)生線變形。

2)液體質(zhì)點(diǎn)的角變形率：

因此，液體質(zhì)點(diǎn)發(fā)生角變形。

（2）液流是否作有旋流動(dòng)。

因此，液流為有旋流動(dòng)。