3.3 連續性方程

連續性方程是液體運動學的基本方程，是質量守恒定律在水力學中的應用。下面根據質量守恒原理，推導三維流動連續性微分方程，并建立總流的連續性方程。

3.3.1 連續性微分方程

在流場中任取微元直角六面體ABCDEFGH作為控制體，其邊長為dx、dy、dz，分別平行于x、y、z軸。以x方向為例，設液體在該六面體形心O′（x、y、z）處的密度為ρ，x方向的速度為ux，根據泰勒級數展開，并略去二階以上的無窮小量，可得密度和速度乘積ρux沿x軸方向的變化，如圖3.14所示。

在x軸方向，單位時間流進與流出控制體的液體質量差：

同理，在y、z軸方向，單位時間流進與流出控制體的液體質量差:

單位時間流進與流出控制體總的質量差：

由于液體連續地充滿整個控制體，而控制體的體積又固定不變，所以，流進與流出控制體的總的質量差只可能引起控制體內液體密度發生變化。設初始時刻的密度為ρ，根據泰勒級數展開，經單位時間后的密度為，則由密度變化引起單位時間控制體內液體的質量變化為

根據質量守恒定律，單位時間流進與流出控制體的總的質量差，必等于單位時間控制體內液體的質量變化。即

此式即為可壓縮液體的連續性微分方程。由方程的推導過程可以看出：連續性方程實質上是質量守恒定律在水力學中的應用，因此，任何不滿足連續性方程的流動是不可能存在的；在推導過程中不涉及液體的受力情況，故連續性方程對理想液體和黏性液體均適用。

幾種特殊情形下的連續性微分方程:

（1）對恒定流，，式 （3.14）可簡化為

（2）對不可壓縮均質液體，ρ為常數，式（3.14）可簡化為

此式適用于三維恒定與非恒定流動。對二維不可壓縮液體，不論流動是否恒定，式(3.16)可簡化為

3.3.2 總流的連續性方程

在恒定總流中任取一股元流作為控制體，如圖3.15所示。液流通過控制面1—1流入控制體，經控制面2—2流出控制體，而控制體的側面是由流線組成的流管壁面，所以側面不可能有液體質點流進、流出。控制面1—1處面積為dA1、液體的密度ρ1、流速u1；控制面2—2處面積為dA2、液體的密度ρ2、流速u2。因為液體作恒定流動，根據質量守恒定律，在dt時段內經控制面1—1流進控制體的液體質量和經控制面2—2流出控制體的質量必須相等。即

ρ1u1dA1dt=ρ2u2dA2dt

由于液體是不可壓縮連續介質，ρ1=ρ2=ρ，由上式化簡得

式（3.18）為恒定不可壓縮液體元流的連續性方程。

總流由無數元流組成，將式（3.18）對總流過水斷面積分，可得總流的連續性方程，即

式（3.19）為恒定不可壓縮液體總流的連續性方程。式中v1及v2分別為總流過水斷面1—1及斷面2—2的斷面平均流速，A1及A2分別為總流過水斷面1—1及斷面2—2的面積。該式說明，在不可壓縮液體恒定總流中，體積流量沿程不變，斷面平均流速和過水斷面面積成反比，斷面大的地方流速小，斷面小的地方流速大。

如圖3.16（a）、（b）所示，對于有分流或匯流的情況，根據質量守恒定律，總流連續性方程可表示為

連續性方程是水力學三大基本方程之一，是用以解決水力學問題的重要公式。它總結和反映了水流的過水斷面面積與斷面平均流速沿流程變化的規律性。

【例3.3】 如圖3.16（b）所示，輸水管道經三通管匯流，已知流量Q1=1.5m3/s，Q3=2.6m3/s，過水斷面面積A2=0.2m2，試求斷面平均流速v2。

解：流入和流出三通管的流量相等，即

Q1+Q2=Q3

則斷面平均流速：