3.2 液體運動的相關基本概念

3.2.1 恒定流與非恒定流

若流場中所有空間點上一切運動要素均不隨時間變化，這種流動稱為恒定流，否則稱為非恒定流。如圖3.1所示，水從水箱側壁孔口出流，當水箱有來水補充，水箱水位保持不變時是恒定出流；當水箱沒有來水補充，水箱水位隨時間不斷下降時是非恒定出流。

恒定流中一切運動要素僅是空間坐標（x，y，z）的函數，與時間t無關，因此：

或

比較恒定流與非恒定流，前者少了時間變量t，使問題的求解大為簡化。實際工程中，許多非恒定流動，由于流動參數隨時間的變化緩慢，可近似按恒定流處理。

3.2.2 三維流動、二維流動、一維流動

若液體的運動要素是3個空間坐標和時間t的函數，這種流動稱為三維流動（又稱為三元流動）。若只是2個空間坐標和時間t的函數，就稱為二維流動（又稱為二元流動）。若僅是1個空間坐標和時間t的函數，則稱為一維流動（又稱為一元流動）。

嚴格講，實際工程中的液體運動一般都是三維流動，但由于運動要素在空間3個坐標方向有變化，使分析、研究變得復雜、困難。所以對于某些流動，可以通過適當的處理變為二維流動或一維流動。例如，水流繞過長直圓柱體，忽略兩端的影響，流動可簡化為二維流動；管道和渠道內的流動，流動方向的尺寸遠大于橫向尺寸，流速取斷面的平均速度，則流動可視為一維流動。

3.2.3 跡線與流線

1.跡線

液體質點在某一時段的運動軌跡稱為跡線。由運動方程：

可得跡線微分方程:

式中時間t是自變量，x、y、z是t的因變量。

2.流線

流線是指某一時刻流場中的一條空間曲線，曲線上所有液體質點的速度矢量都與這條曲線相切，如圖3.2所示。在流場中可繪出一系列同一瞬時的流線，稱為流線簇，畫出的流線簇圖稱為流譜。

設流線上某點M（x，y，z）處的速度為u，其在x、y、z坐標軸的分速度分別為ux、uy、uz，dl為流線在M點的微元線段矢量，dl=dxi+dyj+dzk。根據流線定義，u與dl共線，則：

展開上式，可得流線微分方程:

式中ux、uy、uz是空間坐標和時間t的函數。因流線是對某一時刻而言，所以微分方程中的時間t是參變量，在積分求流線方程時應作為常數。

根據流線定義，可得出流線的特性如下：

（1）在一般情況下不能相交，否則位于交點的液體質點，在同一時刻就有與2條流線相切的2個速度矢量，這是不可能的。同樣道理，流線不能是折線，而是光滑的曲線或直線。流線只在一些特殊點相交，如速度為零的點（圖3.3中的A點）稱為駐點；速度無窮大的點（圖3.4中的O點）稱為奇點；以及流線相切點（圖3.3中的B點）。

（2）圖3.5是由不同管徑組成的管流的流線圖。通過該圖可以看出：不可壓縮液體中，流線的疏密程度反映了該時刻流場中各點的速度大小，流線越密，流速越大；流線越稀，流速越小。

（3）恒定流動中，由于速度的大小和方向均不隨時間改變，因此，流線的形狀不隨時間而改變，流線與跡線重合；非恒定流動中，由于速度隨時間改變，因此，一般情況下，流線的形狀隨時間而變化，流線與跡線不重合。

【例3.2】 已知二維非恒定流場的速度分布為：ux=x+t，uy=-y+t。試求：（1）t=0和t=2時，過點M（-1，-1）的流線方程；（2）t=0時，過點M（-1，-1）的跡線方程。

解：（1）由式（3.11），得流線微分方程。

式中t為常數，可直接積分得

ln（x+t）=-ln（y-t）+lnC

簡化為 （x+t）（y-t）=C

當t=0，x=-1，y=-1時，C=1。則t=0時，過點M（-1，-1）的流線方程為

xy=1

當t=2，x=-1，y=-1時，C=-3。則t=2時，過點M（-1，-1）的流線方程為

(x+2)(y-2)=-3

由此可見，對非恒定流動，流線的形狀隨時間變化。

（2）由式（3.10），得跡線微分方程。

式中x、y是t的函數。將上式化為

解得

當t=0，x=-1，y=-1時，C1=0，C2=0。則t=0時，過點M（-1，-1）的跡線方程為

消去時間t，得

x+y=-2

由此可見，t=0時，過點M（-1，-1）的跡線是直線，流線卻為雙曲線，兩者不重合。

若將該題改為二維恒定流動，其速度分布為ux=x，uy=-y，則可得過點M（-1，-1）的流線方程和跡線方程相同，說明恒定流動流線和跡線重合。

3.2.4 流面、流管、過水斷面

1.流面

在流場中任取一條不是流線的曲線，過該曲線上每一點作流線，由這些流線組成的曲面稱為流面，如圖3.6所示。由于流面由流線組成，而流線不能相交，所以，流面就好像是固體邊界一樣，液體質點只能順著流面運動，不能穿越流面。

2.流管

在流場中任取一條不與流線重合的封閉曲線，過封閉曲線上各點作流線，所構成的管狀表面稱為流管，如圖3.7所示。由于流線不能相交，所以液體不能穿過流管流進、流出。對于恒定流動而言，流管的形狀不隨時間變化，液體在流管內的流動，就像在真實管道內流動一樣。

流管內部的全部液體稱為流束。斷面積無限小的流束，稱為元流。由于元流的斷面積無限小，斷面上各點的運動要素如流速、壓強等可認為是相等的。斷面積為有限大小的流束，稱為總流。總流由無數元流組成，其過水斷面上各點的運動要素一般情況下不相同。

3.過水斷面

在流束上取所有各點都與流線正交的橫斷面稱為過水斷面。過水斷面可以是平面或曲面，流線互相平行時，過水斷面是平面；流線相互不平行時，過水斷面是曲面，如圖3.8所示。

3.2.5 流量、斷面平均流速

1.流量

單位時間通過某一過水斷面的液體量稱為流量。流量可以用體積流量Q（m3/s）、質量流量Qm（kg/s）和重量流量QG（N/s）表示。涉及不可壓縮液體時，通常使用體積流量；涉及可壓縮液體時，則使用質量流量或重量流量較方便。對元流來說，可認為過水斷面dA上各點的速度均為u，且方向與過水斷面垂直，則dt時段通過dA的液體體積為udAdt，所以單位時間通過dA的液體體積流量為

dQ=udA

總流的流量Q等于通過過水斷面的所有元流流量之和，則總流的體積流量:

Q=∫dQ=∫AudA

對于均質不可壓縮液體，密度為常數，則

2.斷面平均流速

總流過水斷面上各點的流速u一般是不相等的，例如液體在管道內流動，靠近管壁處流速較小，管軸處流速大，如圖3.9所示。為了便于計算，設想過水斷面上各點的速度都相等，大小均為斷面平均流速v。以斷面平均流速v計算所得的流量與實際流量相同，即

3.2.6 均勻流與非均勻流

流場中所有流線是平行直線的流動，稱為均勻流，否則稱為非均勻流。例如，液體在等直徑長直管道中的流動或在斷面形狀、大小沿程不變的長直渠道中的流動均屬均勻流，如圖3.10、圖3.11所示；液體在斷面沿程收縮或擴大的管道中流動或在彎曲管道中流動，以及在斷面形狀、大小沿程變化的渠道中的流動均屬非均勻流。

均勻流具有以下特性：

（1）流線是相互平行的直線，因此過水斷面是平面，且過水斷面的面積沿程不變。

（2）同一根流線上各點的流速相等（但不同流線上的流速不一定相等），流速分布沿程不變，斷面平均流速也沿程不變，并由此可見均勻流是沿程沒有加速度的流動。

（3）過水斷面上的動水壓強分布規律符合靜水壓強分布規律，即z+=C。

上述均勻流過水斷面上動水壓強分布規律可用實驗來演示這一規律。在圖3.10的管道均勻流中任取一過水斷面A—A，在該過水斷面管壁四周的不同位置上安裝若干個測壓管，不同的安裝點到基準面的距離z不同，但從觀測可見所有測壓管液面相平；在圖3.11的明渠均勻流中任取一過水斷面B—B，在該過水斷面渠壁的不同位置上安裝若干個測壓管，我們同樣可以觀測到所有測壓管液面相平；如圖3.12所示。這些實驗結果表明均勻流過水斷面上各點的。

按非均勻程度的不同又將非均勻流動分為漸變流和急變流。凡流線間夾角很小接近于平行直線的流動稱為漸變流，否則稱為急變流。顯然，漸變流是一種近似的均勻流。因此，可以認為，漸變流過水斷面上的動水壓強分布規律也近似地符合靜水壓強分布規律。

圖3.13是水流通過實用堰的流動。圖中流線夾角很小、流線近乎平行直線的區段，流動屬于漸變流。而流線間的夾角很大、流線急劇彎曲的區段，流動屬于急變流。水流是否可以看作漸變流與水流的邊界有密切關系，當邊界為近于平行的直線時，水流往往是漸變流。而管道轉彎、斷面擴大或收縮以及明渠中由于建筑物的存在使水面發生急劇變化處的水流都是急變流的例子。

因此，漸變流與急變流沒有明確的界定標準，流動是否按漸變流處理，以所得結果能否滿足工程要求的精度而定。

3.2.7 有壓流、無壓流

邊界全部為固體（如為液體則沒有自由表面）的液體運動，稱為有壓流。邊界部分為固體，部分為大氣，具有自由表面的液體運動，稱為無壓流。例如，給水管道中的流動為有壓流；河渠中的水流運動以及排水管道中的流動是無壓流。