1.11　環流尺度的環流（Munk解）

Stommel解不是很實際，其包含的底部摩擦使控制方程的階有所增加，并去除了Sverdrup關系（只有在遠離邊界的地方才有效的非粘性解，它沒有提供朝赤道方向流動水團向極地的返回）中的簡并；從而使β效應能夠產生一個西邊界流。但由于深海中的底部摩擦通常被忽略，因此它不會很有效。同時，Stommel解與寬闊的東邊界流相適應，東邊界流是中緯度風驅動的渦流尺度環流的一部分。在數學上，這種情況的產生是因為最終的調和方程只允許滿足無向邊界的正常流條件；方程的階不夠高，因此它不足以適應邊界附近具有零滑動的邊界層的無滑動條件，這種缺陷可以通過引入水平摩擦項進行去除，該摩擦項使方程的階增大并使它變為雙調和的，因此它對無正常流條件和無滑動條件都能適應（Munk，1950），Walter Munk將“環流”一詞引入海洋學術語中，并一直沿用下來。控制方程變為

然后可以如前面一樣將其在垂直方向進行求積分，然后得到

這是一個雙調和方程，它要求滿足兩個邊界條件，即ψ=0和ψ/n=0，對應于朝封閉邊界的零正常流以及邊界處的無滑動。可以通過漸進匹配解法求解，將Sverdrup流與內部快速而狹窄的西邊流和寬闊的向南的東邊界流合并在一起。芒克解更接近實際，至少在平底線性海洋的情況下是這樣。

在芒克解中，邊界層厚度和西邊界流的寬度可以通過對拉普拉斯中最大項和β項進行平衡（與前文一樣，風應力分布在這種寬度下基本可以忽略不計）而得到：AM4ψ/x4～βψ/x，得到AM/δ4～β/δ，從而δ～（AM/β）1/3。可以將式（1.11.2）轉換為兩個耦合的調和方程構成的方程組，以進行迭代求取（第2章）

然而，獲得芒克問題的解析解是很有益的，可以通過使用漸進匹配擴展方法得到，這種方法是流體力學中邊界層流的常用方法。對于簡單的風應力分布（緯向風應力的變化僅限于經線方向），則式（1.11.2）變為

再次忽略摩擦項，從而得到Sverdrup解：（ψ/x）=χ（y），將其與x=W東邊界處ψ=0求積分得到

當然，該解不滿足流所要求的任何其他邊界條件，需要引入（1.11.4）保留粘性項的完整方程，以滿足無滑動流條件和無正常流條件。該問題與流體力學中經典的邊界層問題類似，其解也是相似的——都利用漸進匹配擴展方法。例如，正式的方法和數學運算在Dyke（1964），Cole（1968）以及Nayfeh（1973）有描述，不過在此只描述非正式的方法便足夠。為此，首先使用空間變量的外長度尺度W和ψ的χ（y）進行標準化，得到

其中x0=x/W是外部變量，與黏性項相乘的較小參數ε=AM/（βW3）。注意，與前文中一樣，流函數是通過χ（y）進行標準化的。從邊界層理論來看，即使大部分流中的摩擦項很小，但是在近邊界處不能忽略，它在解中沒有產生非物理簡并。漸進匹配擴展方法允許對仍保留解的特性的較小參數進行一個合適的攝動展開，Ludwig Prandtl本人用一個具有較小質量的阻尼質量彈簧系的實例對該方法進行了描述（Schlichting，1978），這類問題的特有性質是，一個較小的參數與最高階導數項相乘，因而即使參數極其微小，在該域的某些情況下卻不能將其忽略。對該域中的梯度進行調整從而使得該項可以與該域的其他項相比擬，雖然在其他地方可將其忽略掉。

通過求小參數ε1/3的攝動級數擴展對外部解進行求取

如何使用幾次冪呢？在此問題中，該參數只不過是邊界層厚度δ與長度尺度W的比值，這兩個數都用之前估計得到的值，最后該參數的值減小到ε1/3，也可以對下文中控制內部解的式（1.11.9）的項進行研究，從而正式地將其推斷出來。外部解必須滿足外部邊界條件，即x0=1時，ψ0=0，在此，零階項是滿足該條件的，即ε的極限趨于0。從而得出式（1.11.6）的無量綱形式，即

可以證明，對O（ε）來說該解是確實可行的，該外部解的內極限（x0→0）是-1到O（ε1/3）。注意，它不可能滿足內部邊界條件，即無正常流條件和x0=0時的零滑動條件，為了滿足這兩個條件，需要在外部解和內部邊界條件之間插入一個邊界層。現在可以對式（1.11.6）進行重標以使最高階導數項成為一階后能夠得到保留，這是通過定義一個內部變量實現的，即xi=x0ε-1/3，選擇的標定參數要能夠使式（1.11.6）左側圓括號中的第一項（它是外部參數x0中的最高階導數）的階與不包含ε的項的階一致，從而得到

當然，該方程的形式用小參數ε1/3表示了內部解和外部解的攝動擴展。

當ε→0可以求式（1.11.8）的極限獲得內部解，對于O（ε1/3）得到

內部解必須滿足內部邊界條件，即無正常流和西邊界xi=0處無滑動：ψi/y=0=ψi/xi。內部解的外極限（xi→∞）也必須與外部解ψ0（0，y）=-1的內極限項匹配，因為與外部變量相比，邊界層厚度很小，也就是說，外部解的漸進邊界條件（xi→∞）是外部解的漸進（x0→0）極限。滿足所有這些條件的內部解可以改為

可以簡單地添加兩個解以獲得在各處均有效的解，并將它們相同的漸近線減去，對于O（ε1/3），則

加入維數的解為

對應的經向傳輸My和渦度ζ為

注意，絕對渦度ζ為負值，但是ζ/x為止值。

這是芒克問題的解析解，其形式見圖1.11.1［改編自Mellor（1996）；也可參考Pedlosky（1996）］，邊界層厚度與洋盆寬度之比，即參數ε的兩個值分別為0.025和0.05。然而，解不滿足東部邊界的無滑動邊界條件，因此不會產生這樣的東邊界流（對西邊強化問題來說并不重要）。然而可以對東部邊界實行漸進匹配擴展，但是對于零階來說，解是不變的。而對于下一階O（ε1/3）來說，無滑動邊界條件是滿足的，因為零階解的不匹配誤差是O（ε1/3），所以，可以求得產生一個窄的西邊界流和一個寬的東邊界流的芒克解（Mellor，1996）。

漸進匹配擴展方法也可以用在Stommel問題中。這里的小參數要得到攝動變量ε的一階近似解，可以利用上述中提到的步驟，首先使用外部長度尺度W和ψ對式（1.10.3）中的空間變量進行標準化，從而得到用外部變量x0=x/W標準化后的方程為

其中x0=x/W，ε=c/（βW）。忽略ε項后得到的O（ε）階外部解為ψ0（x0）=x0-1，在東部邊界x0=1上滿足邊界條件，而在西部邊界x0=0上則不然。在內部極限x0→1時，外部解為-1。其內部解可通過重定標空間變量使xi=x0ε-1而得到，則式（1.10.3）變為

注意，在方程的左側，為了與第二項平衡，定標保留了圓括號中的最大項，即第一項。在ε→0時的極限為

從而在西部邊界處滿足邊界條件的O（ε）階內部解為ψi（xi）=b（e-xi-1）。外部極限xi→∞時解為-b，為了與外部解的內部極限相匹配，b必須為1，從而ψi（xi）（e-xi-1）。匹配內部解和外部解或者僅添加外部解和內部解并消去相同的漸進線-1，就可以正確地得到兩個邊界條件都滿足的O（ε）階解

從而加入維度后得到

可以用渦度守恒對西部強化進行解釋，為此考慮方程（1.11.3），它是渦度ζ的一個簡單守恒方程，可以整個洋盆即在x=0到x=W上求積分（上下限處的ψ都為0），得到

對于南向（北向）的Sverdrup傳輸或者負的（正的）風應力旋度來說，方程右側為負（正）。邊界流的返回流是北向（南向）的，在邊界處為零，但是遠離邊界的地方達到最大值，因此在x=0和x=W處ζ/x都為正（負）。所以總渦度平衡的唯一保留方式是，在x=0處ζ/x達到的較大值（而在x=W處可忽略）足以平衡由風應力旋度引起的積分渦度，這要求無論Sverdrup傳輸是朝哪個方向，都要有一個狹窄、強烈的西邊界流和一個擴散、微弱的東邊界流。

由于解的線性關系，Stommel解和Mank解都具有南北對稱性，這些解對改變線性的風驅動環流問題的數值解是有用的，不過存在局限性，無論在西部邊界還是東部邊界，Stommel解都不滿足無滑動條件，然而與Stommel解相比，在這方面Mank解則更為真實。這兩個解的另一特征是，忽略平流效應后會得到各緯度處的局部渦度平衡，而這也不是很真實，這兩個解的線性特性還使不違背線性假設的狹窄西邊界流的獲得變得困難。

有關的雷諾數是Re=Uwδ/AM=Uw/βδ2，對于寬度為100km的邊界流來說典型值約為1，Uw的標準值在本章1.9節中得到，在最大速度條件下，Re能比該值大幾倍，此時慣性的影響幾乎可以忽略不計，對于Stommel解也是如此。因此對于摩擦系數的似真值，該可調參數本質上是未知的，它們都違背了線性特性，而如果選擇的參數不違背線性，則它們將得到寬的、逐漸衰弱的西邊界流，這些困難促使了對不忽略非線性慣性項的解進行研究，Charney（1955）研究了純慣性解，其中的西部邊界層的厚度為δI=（U/β）1/2，該解與Stommel解（1.11.16）類似，但是a=（β/U）1/2，但是這個解是不完整的，而且只對副熱帶（副極地）環流的南（北）半部分有效（Pedlosky，1996），它不滿足西部邊界處的無滑動條件，為了使之得到滿足，必須在其中嵌入一個黏性次層（Pedlosky，1996），注意雷諾數Re=（δ1/δ）2。

包含渦度平流項和式（1.11.2）的完全非線性渦度方程變成

對于非線性的情形，不再是南北對稱的，最大速度向北移動。現在，非線性渦度平流項可以對β項進行平衡，使得其中|ψ|表示Sverdrup傳輸的大小從而然而，摩擦項也是很重要的，其大小有可能與平流項一樣。

式（1.11.20）的求解需要用數值方法。雖然摩擦系數的恰當值以及西部邊界處的恰當條件（有滑動還是無滑動，或者一些其他條件，比如子格網尺度運動）都有很多不確定性，它們都沒有得到明確解決，對這些問題的討論不屬于本書的范疇（Pedlosky，1996），我們將僅僅描述一個來自Ierely（1987）的數值模型及非線性的Munk問題，其表示了西北角的再循環和完全非線性問題的南北對稱特性（圖1.11.2），目的就是為了說明非線性所帶來的重大差別，這種差別即使對于簡單的矩形、平底形以及均勻海洋也是存在的。

雖然Stommel解和Munk解非常具有典型意義，但它們只是均勻、平底海洋的最簡單情形下的線性解，對于真實的海洋來說更為復雜。邊界流中的流體是完全非線性的，因此非線性項非常重要。更為重要的是，地形是變化的，其變化與水平密度梯度的變化一致，表現為其本身在流上存在的扭矩。此外，真實的風力很少為了分析的方便而假設的力那樣簡單，它具有一個完整的時間尺度和空間尺度范圍，這種尺度范圍并不適合于分析模型。最后，溫鹽效應產生了海洋中的密度梯度，它促成了西邊界流中的傳輸。從分析來看，該問題是很難處理的，而數值解卻是必不可少的。實際洋盆中海洋環流和實際表面應力的真實模擬（包括動量通量和浮力通量）是海洋數值模型的主要任務。不過，直到最近，計算機計算能力的缺陷使得對狹窄西邊界流進行處理時分辨率不夠高，因此得不到流域尺度環流的真實描述。直到20世紀90年代，才有了每秒幾十億次浮點運算速度的計算機，從而使得洋盆模型變得越來越真實（Semtner，1995；Fu和Smith，1996）。