1.10　西向邊界強(qiáng)化（STOMMEL解）

由于忽略了摩擦力影響，Sverdrup失去了洋盆中風(fēng)驅(qū)動環(huán)流的一個關(guān)鍵部分，即邊界流，尤其是強(qiáng)烈的西邊界流。Henry Stammel在1948年對西邊界流的增強(qiáng)給出了一個簡單解釋（Stommel，1948），他是通過對式（1.9.3）的垂直方向上求積分過程中保留底部摩擦項（因此也保留了高階項及在西邊界和東邊界上無正常流條件的滿足），并用一種簡單的線性方式對其進(jìn)行參數(shù)化以得到解析解。利用對方程進(jìn)行求積分后得到

那么式（1.9.5）變成

這是一個橢圓（調(diào)和）方程，假設(shè)沿西邊界和東邊界的風(fēng)應(yīng)力旋度分布的邊界條件ψ都為0，則對封閉的中緯度深度為常數(shù)的洋盆來說該方程很容易求解。對于純緯向風(fēng)應(yīng)力來說，方程可以寫為

注意，與拉普拉斯相乘的c/β雖然很小，但是若必須滿足無正常流的西邊界流條件的話卻不能將它忽略，用數(shù)學(xué)術(shù)語來說，這是一個漸進(jìn)匹配擴(kuò)展問題。注意方程的右邊只是y的函數(shù)，因此解是用x和y分開表示的。斯托梅爾假設(shè)長時間尺度上典型的中緯度風(fēng)應(yīng)力分布（圖1.9.2）為

在y=0，經(jīng)線方向上長度為L的閉合洋盆的南北長度都為L，平均深度為H時，得到的風(fēng)應(yīng)力旋度為0。在洋盆的北邊具有強(qiáng)烈的盛行西風(fēng)，流來自西邊，而在南邊的流則是向東的。對于這種情形而言，他研究了三種情況。①當(dāng)f=0時，解具有東西對稱性，但是主要平衡存在于底部摩擦與風(fēng)應(yīng)力之間，這是可以預(yù)期的。不存在西向強(qiáng)化，表面不存在壓力梯度，因此也就相當(dāng)于不存在表面彎沉。②當(dāng)f為常數(shù)，即在f平面上，解是相似的，而現(xiàn)在主要平衡存在于風(fēng)應(yīng)力和壓力梯度之間，這是旋轉(zhuǎn)流體應(yīng)有的性質(zhì)，得到的解相當(dāng)于洋盆中心處存在高壓（升高的海平面），同時具有沿順時針方向（反氣旋）的環(huán)流，這個解保留了東西對稱性，且不存在西向強(qiáng)化［圖1.10.1（a）］。③當(dāng)f不為常數(shù)，即在β平面上（圖1.10.2），流不再是東西對稱的，沿西邊界則具有一個強(qiáng)烈的流［圖1.10.1（b）］，壓力的變化主要限于西邊界，相當(dāng)于西邊界處向東漸增的海平面與向北的西邊界流相適應(yīng)［圖1.10.1（b）］。

對于式（1.10.4）中的風(fēng)應(yīng)力以及1.9節(jié)中提到的標(biāo)準(zhǔn)值，能夠得到洋盆中心緯度處的Sverdrup傳輸?shù)淖畲笾?4Sv，在北部和南部區(qū)域邊界處減小到0，Sverdrup傳輸被以強(qiáng)烈西邊界流的形式向北返回。

式（1.10.3）的解可以很容易地使用變數(shù)分離法得到，即對Ψ（x，y）進(jìn)行替換，使其中

那么，φ（x）為

其中a=β/c，b=a［1+π2/（a2W2）］1/2，當(dāng)x=0和x=W時滿足的邊界條件均為φ=0，對于式（1.10.4）中的風(fēng)應(yīng)力分布，則

ψ的解為

Stommel的開創(chuàng)性工作將中緯度洋盆中流的西邊界強(qiáng)化與行星渦度的緯度變化聯(lián)系起來。西邊界流是唯一的，它對海洋中的流域尺度環(huán)流極為重要，這是大氣中的環(huán)流與海洋中的環(huán)流的一個主要差異，大氣中的流主要是緯向的。

西邊界流的邊界層厚度或深度可以通過對拉普拉斯中的最大項與β項進(jìn)行平衡求得（在該深度下風(fēng)應(yīng)力的貢獻(xiàn)可以忽略）：c2ψ/x2～βΨ/x，由此得出c/δ2～β/δ，這一估計對求取數(shù)值解是很有用的，因為有必要選擇能對該層進(jìn)行確定并避免數(shù)值問題模型格網(wǎng)大小。調(diào)和方程本身可以通過無數(shù)的橢圓問題之一進(jìn)行求解，包括具有悠久歷史的連續(xù)超松弛法（SOR）或者現(xiàn)代的多重格網(wǎng)方法（第2章）。

可以使用漸進(jìn)匹配擴(kuò)展方法獲得用攝動變量表示的一階近似解，本章1.11節(jié)同樣遵循相同步驟，因而

這個解也可以由式（1.10.6）得到，經(jīng)向傳輸My和渦度ζ的對應(yīng)值為

注意，絕對渦度ζ為負(fù)值，而ζ/x為正值，解如圖1.10.3所示，根據(jù)Mellor（1996）改編，參數(shù)e的兩個值為0.025和0.05，它是洋盆的邊界層厚度與寬度之比，要注意的是，在真實海洋中，該參數(shù)約為0.01～0.02，然而在這些值下，平流變得很重要，從而問題不再是線性的。