1.5　海洋運動的無量綱量和無量綱尺度

研究可能具有解析解的方程的一些簡單限制時，首先要研究一些尺度和顯著的無量綱量。設U為典型的流速，L為流的典型尺度，T為典型的時間尺度。那么動量平衡中非線性對流（慣性）項與Coriolis項的比值由Rossby數給出

在俄羅斯文獻中稱之為Rossby-Kiebel數（Nezlin和Snezhkin，1993），這個數的重要性在于，如果它很小，那么對流項也很小，對非黏性流而言，主要是壓力梯度和Coriolis力之間的平衡。然后流近似于地轉平衡，如果該平衡是精確的并且對流項可忽略的話，則流就是地轉的。對于大洋中的中緯度環流尺度的流來說，U約為10-1m/s，L約為106m，f約為104/s，因此Ro約為10-3（極?。?，該流是地轉的。對于更有活力的過程比如中尺度渦流，U約為1m/s，L約為105m，f約為104/s1，因此Ro約為10-1（小卻不可忽略），該流是準地轉的。在大氣中，速度要比海洋中大一個數量級，但同時尺度也大一個數量級，因此Rossby數相似，盡管某種程度上稍高。

Rossby數還是一個體現流的相對渦度（相對于旋轉坐標系）的重要性的量，背景為行星渦度，因此也可將其定義為相對渦度與行星渦度的比值

因為轉動影響顯著，Ro必須要小，或者其將流體塊以U的速度傳播特定距離L所花的時間必須遠遠超過旋轉周期。

類似地，可基于運動的時間尺度定義一個暫時的Rossby數，即

這是運動頻率與慣性頻率的比，或者相當于慣性周期（T1=2π/f，為兩極處的半個擺日，緯度30°處的一個擺日）與運動周期的比。Coriolis參數f是旋轉流體的固有頻率；因此，如果運動的頻率較高，則旋轉對它造成的影響就很小，而當運動頻率比慣性頻率小的時候，則運動太過緩慢而受到旋轉的顯著影響。比如，行星Rossby波運動影響著海洋（和大氣）的內部調節，這種影響的時間尺度從數月到數年并極大地受到行星自轉和行星渦度的影響，然而時間尺度為幾秒鐘的高頻率表面引力波卻絲毫不會受到自轉的影響。

摩擦項與Coriolis項的比稱為Ekman數

該數表示摩擦力的相對重要性。在遠離邊界的地方以及海洋內部，摩擦力很小，往往可以忽略不計。而在湍流表面和底層的地方，摩擦力卻非常重要。若用水平混合系數AM替換垂直動量擴散系數KM，將得到另一個表示大尺度環流重要性的Ekman數。除了在接近側邊界——邊界流的區域外，它的值也很小。

地球物理流是在旋轉力和重力的共同作用下形成的。盡管普遍穩定的環境分層相當微弱（垂直方向的密度變化對流體塊產生的阿基米德力只占幾個百分點），它對垂直運動有著顯著影響，因此也影響著一般的運動。若考慮分層效應，則最好考慮理想的分層情況，這種情況下流體柱近似于厚度為H和密度為p0的層，它覆蓋于另一密度為p0+Δ ρ的較深層之上，這樣一個系統中的勢能為ΔρgH，由此產生的速度尺度C約為它是系統中長波長干擾（低波數）的傳播速度。具有這一速度尺度的Rossby數為1的流的長度尺度在旋轉和分層方面都很重要。a為Rossby數，即

這一長度尺度是地球物理流中非常重要的參數，稱為Rossby變形半徑。它是旋轉分層的流體受到干擾時的水平影響范圍。比如說，沿海岸傳播的kelvin波具有將幾個Rossby半徑延伸至與海岸相垂直的特征，在遠離該距離時它的影響很小。沿赤道傳播的kelvin波和Rossby波的幾個Rossby半徑具有跨赤道長度的尺度。Rossby變形半徑在f平面上的地轉適應過程中顯得比較突出，在海洋中緯度為30°的地方約為40km，在中緯度大氣中約為1000km（對于木星和土星有類似的情況）。海洋中的中尺度變化的尺度與此相似，因此在任何海洋數值模型中解決這些尺度顯得很重要。然而，這在全球模型中仍然是不可能的，即便是利用具有幾秒數十億次浮點運算速度的現代計算機。

在穩定分層的流體中，特征頻率是流體塊從其平衡位置變換到垂直位置時的頻率，它將會發生擺動——浮力頻率N。在浮力頻率為N的連續分層流體中，存在許多離散的模式，其傳播速度C=NH/n，n為垂直模式數量。那么便可以定義無限數量的離散的內部Rossby半徑，盡管通常只有前幾個半徑具有動力學意義，即使垂直方向上N不是常數時也成立，為了確定模式的速度和結構，這種情況需要解決特征值問題。

上面討論的Rossby半徑稱為內部Rossby變形半徑更為合適，因為也可以定義基于外部重力波速度Ce=（gH）1/2的外部Rossby半徑ae，在俄羅斯文獻中被稱為Rossby-Obukhoff半徑，在海洋中它通常約為2000km，比內部半徑大兩個數量級左右，在中緯度的大氣中約為3000 km（對木星和土星而言，則約為6000km）。

兩種情況下Rossby變形半徑都表示旋轉流體中干擾（正壓和斜壓）的水平范圍。這一長度尺度與地球物理流運動的長度尺度之比為a/L，它是地球物理流中的另一個重要的無量綱參數，即

注意，這也是一個Rossby數，只不過是利用淺海重力波的速度C作為速度尺度進行定義的，而不是使用流體的速度。

在一個半徑為R的旋轉行星上，另一長度尺度也有一定的重要性：中間地轉半徑aig=a（R/a）1/3，這一尺度下行星的曲率很強，若要使一個中尺度的特性長時間持續，那么它的特征尺度必須要小于這一尺度。在溫和的緯度地帶，與運動具有很大相關性的五個長度尺度分別是L、a、ae、aig和R。一般情況下中尺度渦流的Rossby半徑a的維數為L或者更大，長時間持續的渦流特性在尺度上比Rossby半徑大，而且R至少比L大一個數量級的這種情況將更普遍；土星和木星這兩個巨大行星很好地滿足了這一條件，從而使得在超過300年的時間里已觀察到巨大的木星大紅斑。地球大氣的特性所持續的時間很少會超過幾周，而海洋中持續時間最長的渦流能達到幾年的時間。這些主要是大型反氣旋，其表現像Rossby弧子一樣，因此它們可以將自己的結構保持的很好，而氣旋則由于分散的原因迅速衰減（Nelin和Snezhkin，1993）。

旋轉行星上的運動不可避免地受到與行星表面垂直的旋轉矢量分量的幅度隨緯度而變化的影響，f=2Ωsinθ，其中θ是緯度。描述行星渦度隨緯度變化的參數為β=df/（Rdθ）?；趦炔縍ossby半徑a和β的Rossby漂移速度尺度可以定義為Vc=βa2，這是非分散的、中緯度的線性長波長Rossby波的傳播速度，在沒有背景流和地形梯度等其他影響的情況下（1.15節和第4章），無論特性是氣旋還是反氣旋，中尺度特性都向西漂移。漂移速度Vd通常約為βr2，r是特征半徑。

還可以定義一個特征時間尺度：tβ=2π（βa）-1?？紤]一個半徑r方向上幅度為exp（-r2/），具有高斯分布的線性Rossby波數據包，這一數據包分散而造成其最大速度（由地轉平衡決定）隨因素e-1減小的時間尺度是其特征半徑rp的一個函數。當rp等于Rossby半徑a時這一時間尺度達到最小值，約為tβ，從而就變成一個線性Rossby波包隨著與Rossby半徑相等的特征半徑分散的時間尺度，對于海洋這一時間尺度約為80天，對于大氣則約為8天（木星為15天）。持續時間比這些值大一個數量級的中尺度特性可以被稱為長壽命特性。持續時間很大程度上取決于這些特性的強度，這種強度可定義為比值ω/f，ω是它們中心處角速度的絕對值。另一個測量方法是它們的最大旋流速度與漂移速度的比值Vm/Vd，當這一比值達到10或者更大的時候，就算是注定會隨著分散傳播而衰減的氣旋特性的持續時間也會比tβ長。強大的反氣旋往往像Rossby弧子一樣，其分散的傾向幾乎被非線性變陡抵消掉，因此持續的時間比tβ長，即使這一比值沒有之前說的那么大。盡管一些地中海渦流，由流出的地中海咸水帶入大西洋的大量地下咸水已經被跟蹤兩年以上的時間，海洋里中尺度渦流通常持續時間為數月至一年多（Kantha和Clayson，1999）。

旋轉行星上通過速度U與緯向環流相關的長度尺度為Lz=（U/2β）1/2，這也是一個重要的尺度，因為它是與緯向噴流有關的特性的子午線尺度。對于墨西哥灣流和黑潮續流來說，Lz約為160km，比Rossby半徑大得多。

除了赤道周圍低緯度地區外，大氣和海洋中的流通常是斜壓不穩定的（見第4章），結果曲流和渦流的產生反過來在經線方向傳輸著質量、動量和熱量，這種機制在大氣中尤為重要。旋轉、持續且均勻分層流體的速度U與流的斜壓不穩定性相關的時間尺度為（Eady，1949；Charney，1947；Green，1970；Stone，1972；Held和 Larichev，1998）

其中，是梯度Richardson數，它是一個測量平均分層中所存儲的有效勢能（APE）的量。

有效勢能是地球物理流中的一個重要概念，它是在超過最小勢能的理論參考的特定狀態下可用的剩余勢能，這種狀態由流體塊的重排列產生的可逆絕熱過程得到（Oort等，1989）［ Boussinesq流中的APE及其含義的更詳細描述可參考Huang（1998）］。它是系統中可能轉換為流的動能的能量的可用總量，這種動能驅動著流的運動。所有密度表面作為參考狀態的基準，然而流的狀態涉及到密度表面的傾斜，它通過斜壓不穩定性產生了分層系統可用來轉換為動能的勢能。然而，很難確定這種理論參考狀態。通常使用APE的線性化形式，而不使用Lorenz（1995）近似，因為不需要尋找這樣的參考狀態。這種近似已經被應用到海洋中，比如Bryan和Lewis（1979），Oort等（1989）以及Toggweiler和Samuels（1998）。

式中：ρ為局部現場密度；為局部現場密度的平均值；為該深度處的水平方向平均勢密度。

假設隨時間變化，那么APE的變化率為

在永久的溫躍層上方，也就是大約在水柱的上方1km處，時間尺度為tbc，它的倒數可以測量斜壓不穩定性的增長率，其變化范圍在西邊界流的區域內為幾天到一個月左右［第4章以及Stammer（1998）］，在大氣中則為幾天。

可以使用β和tbc對與斜壓渦流有關的長度尺度進行定義：Lbc=（βtbc）-1，這一長度尺度對于旋轉行星上的標量屬性的渦流調節變換很重要。渦流變換系數Kbc約為Stammer（1998）便用了這些概念對全球海洋中的經向渦　流調節熱量和鹽的變換進行估算，在這個過程中使用了氣溫和鹽度的氣候分布以及從衛星測高法獲得的渦流變換系數的估計值。

確定流是否為流體靜力學的一個重要參數是特征平流時間尺度與浮力周期的比值，或者相當于NH=U/（NL），L/U是平流的時間尺度與特征長度尺度L的比。如果NH遠小于1，則流接近于流體靜力平衡。除了強烈的冬季深對流區域外，海洋都非常接近流體靜力學。

Coriolis頻率與浮力頻率之比，或者浮力周期與慣性周期之比為

也是海洋運動中的一個重要額外參數。比如，動力學將慣性內部運動限定為由平率N和f劃定的頻譜范圍部分（Kantha和Clayson，1999的第5章）。

1.5.1　正常模式

即使分層不滿足理想狀態（比如兩層或呈線性），對于水柱中的所有任意分層，流運動都可以被看成是離散的正常模式的無窮序列疊加，這些模式可以由具有規定密度分層的平底海洋中對應的特征值問題的解進行確定。平底海洋中自由傳播的波的線性化方程使得水平結構和時間結構與垂直結構的區分成為可能（Gill，1982），得到的垂直結構為

式中：w是垂直速度，N（z）等于是觀測的浮力頻率（布維頻率）。分離常數是1/c2，c是內部重力波的速度。

除了在低緯度地區（|φ |≤5°）aI=（0.5c/β）1/2之外，內部Rossby半徑通過ai=c/|f|與特征值相關。北太平洋和大西洋的Rossby半徑分布可以參看Emery等（1984），重力波速度的更近的計算和全球海洋的變形半徑可以參看Chelton等（1998）。第一模式對應于最重要的內部波運動，其速度規定了最大的內部Rossby半徑。在海洋（和大氣）中，通常是第一個模式或第二個模式處于優先活躍狀態。

1.5.2　尺度

表1.5.1表示與海洋和大氣中的物理過程有關的長度尺度和時間尺度，圖1.5.1是這些尺度的一部分。與預期的一樣，Rossby數隨著長度尺度和時間尺度的增長而降低。

注意，從動力學理論得到的平均自由路程給出海平面處大氣的長度尺度約為10-7m，與分子碰撞對應的時間尺度約為10-4s。