3.4 小波分析

3.4.1 小波函數

假設連續函數ψ（x），其函數值在遠離原點處迅速衰減到零，且在實數R范圍內有：

式中：ψ（x）為基小波或母小波。對母小波通過伸縮平移因子a，b可以得到一簇小波：

式中：a為尺度因子，反映了小波的周期長度；b為時間因子，反映了在時間上的平移。

連續復Morlet小波作為母小波進行小波變換時，能夠很好地對水文氣象序列連續進行時頻局部化分析。因此，本研究選取Morlet小波對珠江流域各水文氣象要素進行周期分析。Morlet小波函數形式為：

式中：ω0為常數，ω0≥5；i為虛數。

3.4.2 小波變換

對于任意函數f（x），其小波變換定義如下：

式中：ψ（x）與）互為復共軛函數；Wf（a，b）為小波系數。Wf（a，b）寫成離散變換式如下：

Wf（a，b）是時間序列f（kΔt）通過單位脈沖響應的濾波器的輸出，能同時反映時域參數b和頻域參數a的特性。當a增大時，對頻域的分辨率高，而對時域的分辨率低；當a減小時，對頻域的分辨率低，而對時域的分辨率高。以b為橫坐標，a為縱坐標作關于Wf（a，b）的等值線圖，即為小波變換系數圖，通過該圖可以得知水文氣象序列變化的小波變化特征。

3.4.3 小波方差

將時間域上的關于a的所有小波變換系數的平方進行積分，便得到小波方差：

小波方差隨尺度a的變化過程即為小波方差圖，它反映了波動的能量隨尺度的分布。通過小波方差圖可以得知一個水文氣象序列存在的主周期。