3.4 地基上梁的數(shù)值分析

3.4.1 基本概念

3.3節(jié)給出了文克勒地基上梁的解析解，但如果基床系數(shù)沿梁長方向不是常數(shù)，或采用了非文克勒地基模型，那么就無法求得解析解，而只能尋求近似的數(shù)值解。

地基上某點(diǎn)i的沉降si與基底壓力pi之間的關(guān)系，仍可以采用式(3.1)的形式，即

式中，ki對(duì)于文克勒地基模型，其為常量，而對(duì)于非文克勒地基模型來說則其值是待定的。在數(shù)值分析時(shí)，ki需預(yù)先選取假定的初值，然后通過迭代計(jì)算逐步逼近真值。由于這種基床系數(shù)不但沿基底平面是變化的，而且在各輪迭代計(jì)算中也不斷變化，所以稱為“變基床系數(shù)”。

地基上梁的數(shù)值分析方法很多，常見的主要包括有限單元法、有限差分法等。這里僅介紹最常用的有限單元法。

3.4.2 有限單元法

1.梁的剛度矩陣

將梁分成m段（圖3.16），每段長可以不等。把每個(gè)分段作為一個(gè)梁單元，分段處和梁的變截面處都是節(jié)點(diǎn)位置。梁單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖3.16所示，節(jié)點(diǎn)總數(shù)n=m+1。在每個(gè)節(jié)點(diǎn)下分別設(shè)置一根彈簧，以Li、bi與Li+1、bi+1分別代表節(jié)點(diǎn)j兩邊的單元長度和梁底寬度，則第j根彈簧的彈簧力Rj則代表基底面積fi=（Libi+Li+1bi+1）/2上的基底總反力。設(shè)此反力在面積fj上是均布的，并以pj表示，彈簧的壓縮變形代表此處的地基沉降sj。根據(jù)接觸條件，地基沉降應(yīng)等于梁上相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的豎向位移，即sj=ωj，于是，按變基床系數(shù)的定義式（3.36），有

式中，Kj=kifj稱為面積fj上的集中變基床系數(shù)。

由此，地基上的梁就變成支承在n個(gè)不同剛度(K1，K2，…，Kn)的彈簧支座上的梁(圖3.16)，而連續(xù)的基底反力也就離散為n個(gè)集中反力(R1，R2，…，Rn)。

梁單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕?i>k］e為

式中 E——梁單元材料的彈性模量；

I——梁單元的截面慣性矩；

L——梁單元長度。

設(shè)節(jié)點(diǎn)j的豎向位移和轉(zhuǎn)角分別為ωj和θj；節(jié)點(diǎn)力(豎向力和力矩)分別為Fj和Fmj，則節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系可以用矩陣形式表示為

式中 {F}——節(jié)點(diǎn)力列向量：{F}={F1,Fm1,F2,Fm2,…，Fn,Fmn}T；

{ω}——節(jié)點(diǎn)位移列向量：{ω}={ω1,θ1,ω2,θ2,…,ωn,θn}T；

［Kb］——梁的剛度矩陣，按對(duì)號(hào)入座原則由單元?jiǎng)偠染仃嚱M合而成。

2.地基上梁的剛度矩陣

與梁節(jié)點(diǎn)的各個(gè)豎向位移和轉(zhuǎn)角相對(duì)應(yīng)，地基在任一節(jié)點(diǎn)j處也要考慮沉降sj和基底傾斜θj兩個(gè)方面。由于地基（即彈簧）與梁底接觸處只能承擔(dān)豎向集中反力Rj=Kjsj，而不能抵抗轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，基底反力偶Rmj=0。基底反力列向量{R}={R1,Rm1,R2,Rm2,…,Rn，Rmn}T和基底沉降列向量{s}={s1,θs1,s2,θs2,…,sn,θsn}T之間存在以下關(guān)系，即

式中 ［Ks］——地基剛度矩陣：

根據(jù)梁上各節(jié)點(diǎn)的靜力平衡條件，作用于任一節(jié)點(diǎn)j的集中基底反力、節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)荷載（豎向力Pj和集中力偶Mj）之間應(yīng)滿足條件Rj+Fj=Pj和Rmj+Fmj=Mj，即

式中 {P}——節(jié)點(diǎn)荷載列向量：{P}={P1,M1,P2,M2,…，Pn，Mn}T。

按接觸條件，令式（3.40）中{s}={ω}后，與式（3.39）一起代入式（3.41），可得

令

則

式中 ［K］——地基上梁的剛度矩陣。

對(duì)于文克勒地基上的梁，各節(jié)點(diǎn)下的集中基床系數(shù)Kj為已知，故由式(3.44)可解得{ω}，再按式(3.37)可求得基底反力。對(duì)于梁任意截面上的彎矩和剪力，可以利用各梁單元桿端力與桿端位移的關(guān)系求解，也可以按靜力分析法計(jì)算。對(duì)于非文克勒地基上的梁，由于集中變基床系數(shù)在計(jì)算前無法預(yù)知，因此需采用迭代算法。

3.4.3 迭代計(jì)算步驟

采用迭代算法計(jì)算非文克勒地基上的梁內(nèi)力時(shí)，可按以下步驟進(jìn)行。

(1)初選一基床系數(shù)k，計(jì)算集中變基床系數(shù)Kj=kfj。

(2)按式(3.44)計(jì)算梁節(jié)點(diǎn)位移{ω}。

(3)根據(jù)接觸條件{s}={ω}和式(3.37)計(jì)算基底反力{p}和集中基底力{R}，其中pj=kjfj。

(4)按式(3.5)計(jì)算由{p}(或{R})引起的基底沉降{s}。

(5)計(jì)算集中變基床系數(shù)Kj=Rj/sj。

(6)重復(fù)以上第(2)~(5)各個(gè)步驟，直至某輪計(jì)算中的基底反力與上一輪的基底反力的相對(duì)誤差滿足要求為止。

(7)根據(jù)最后一輪所得的基底反力，計(jì)算梁各截面的內(nèi)力。

在以上迭代計(jì)算中，如果出現(xiàn)某點(diǎn)的基底反力pj<0，則表示該點(diǎn)計(jì)算所得的反力為拉力，該處的基底與地基脫開，接觸條件在該點(diǎn)得不到滿足。此時(shí)，可令相應(yīng)的Kj=0，然后再從第(2)個(gè)步驟開始下一輪計(jì)算。

3.4.4 地基柔度矩陣

在每輪迭代計(jì)算中，都要按式(3.4)以地基柔度矩陣［δ］計(jì)算基底沉降{s}，因此應(yīng)先建立［δ］矩陣以供各輪計(jì)算所用。

由于梁的橫向剛度很大，因此在計(jì)算［δ］中的沉降系數(shù)δij時(shí)，應(yīng)考慮梁橫向剛度的影響。可將基底沿梁寬等分成若干個(gè)小面積，分別求得i段各小面積中由pj=1/fj引起的沉降，取其平均值作為δij。