3.3 文克勒地基上梁的計算

3.3.1 文克勒地基上梁的撓曲微分方程

在材料力學中，根據梁的純彎曲得到的撓曲微分方程式為

式中 ω——梁的撓度；

M——彎矩；

E——材料的彈性模量；

I——梁的截面慣性矩。

根據梁的微單元［圖3.10（b）］的靜力平衡條件∑M=0、∑V=0得到

式中 V——剪力；

q——梁上的分布荷載；

p——地基反力；

b——梁的寬度。

將式（3.10）連續對坐標x求兩次導數，可得

對于沒有分布荷載作用，即q=0的梁段，式(3.11)可寫為

式（3.12）是基礎梁的撓曲微分方程，對哪一種地基模型都適用。采用文克勒地基模型時，按式（3.1）p=ks進行計算。

根據變形協調條件，地基沉降等于梁的撓度，即s=w，代入式（3.12）得

或

式(3.13)即為文克勒地基上梁的撓曲微分方程。為了求解的方便，令

λ稱為梁的柔度特征值，量綱為［1/長度］，其倒數1/λ稱為特征長度。λ值與地基的基床系數和梁的抗彎剛度有關，λ值越小，基礎的相對剛度越大。

將式（3.14）代入式（3.13）得到

式(3.15)是4階常系數線性常微分方程，可以用比較簡便的方法得到它的通解，即

式中 C1、C2、C3和C4——積分常數，可按荷載類型（集中力或集中力偶）由已知條件（某些截面的某項位移或內力為已知）來確定；

e——自然對數的底。

如果設梁的長度為l，則梁的柔度特征值λ與長度l的乘積λl稱為柔度指數，其表征了文克勒地基上梁的相對剛柔程度的一個無量綱值。當λl→0時，梁的剛度為無限大，可視為剛性梁；當λl→∞時，梁是無限長的，可視為柔性梁。一般可按柔度指數λl值的大小將梁分為下列3種。

對于短梁（或剛性梁），有

對于有限長梁（或有限剛度梁），有

對于長梁（柔性梁），有

3.3.2 文克勒地基上無限長梁的解答

1.豎向集中荷載作用下的解答

圖3.11（a）表示一個豎向集中力F0作用于無限長梁時的情況。取F0的作用點為坐標原點O。離O點無限遠處的梁撓度應為0，即當x→∞時，ω→0。將此邊界條件代入式（3.16），得C1=C2=0。于是，對梁的右半部，式（3.16）成為

在豎向集中力作用下，梁的撓曲線和彎矩圖是關于原點對稱的，如圖3.11（a）所示。因此，在x=0處，dω/dx=0，代入式（3.17）得C3-C4=0。令C3=C4=C，則式（3.17）成為

在O點處緊靠F0的左、右側把梁切開，則作用于O點左右兩側截面上的剪力均等于F0之半，且指向下方。根據圖3.10（c）中的符號規定，在右側截面有V=-F0/2，由此得C=F0λ/2kb，代入式（3.18），則

將式(3.19)對x依次取一階、二階和三階導數，就可以求得梁截面的轉角θ≈dω/dx、彎矩M=-EI(d2ω/dx2)和剪力V=-EI(d3ω/dx3)。將所得公式歸納為

式中Ax=e-λx(cosλx+sinλx)

Bx=e-λxsinλx

Cx=e-λx(cosλx-sinλx)

Dx=e-λxcosλx

這4個系數都是λx的函數，其值也可由表3.2查得。

由于式（3.20）是針對梁的右半部（x>0）導出的，所以對F0左邊的截面（x<0），需用x的絕對值代入式（3.20）中進行計算，計算結果為ω和M時正負號不變，但θ和V則取相反的符號?；追戳Π?i>p=kω計算。ω、θ、M、V的分布圖如圖3.11（a）所示。

2.集中力偶作用下的解答

如圖3.11（b）所示，當一個順時針方向的集中力偶M0作用于無限長梁時，同樣取M0作用點為坐標原點O。當x→∞時，ω→0，由此得式（3.16）中的C1=C2=0。在集中力偶作用下，θ和V是關于O點對稱的，而ω和M是反對稱的。因此，當x=0時，ω=0，所以C3=0。然后在緊靠M0作用點的左、右兩側把梁切開，則作用于O點左右兩側截面上的彎矩均為M0之半，且為逆時針方向，即在右側截面有M=M0/2。由此可得C4=M0λ2/kb，于是

求ω對x的一、二、三階導數后，所得的式子歸納為

式中系數Ax、Bx、Cx、Dx與式（3.20）相同。當計算截面位于M0的左邊時，式（3.22）中的x取絕對值，ω和M取與計算結果相反的符號，而θ和V的符號不變。ω、θ、M、V的分布如圖3.11（b）所示。

計算承受若干個集中荷載的無限長梁上任意截面的ω、θ、M和V時，可以按式（3.20）或式（3.22）分別計算各荷載單獨作用時在該截面引起的效應，然后疊加得到共同作用下的總效應。注意，在每次計算時均需把坐標原點移到相應的集中荷載作用點處。圖3.12所示的無限長梁上A、B、C 這3點的4個荷載Fa、Ma、Fb、Mc在截面D引起的彎矩Md和剪力Vd分別為

式中，系數Aa、Cb、Dc表示其所對應的λx值分別為λa、λb、λc。

3.3.3 文克勒地基上有限長梁的解答

真正的無限長梁是沒有的。滿足的梁均稱為有限長梁，對于有限長梁，有多種方法求解。這里介紹的方法均是以上面推導得的無限長梁的計算公式為基礎，利用疊加原理來求得滿足有限長梁的兩個自由端邊界條件的解答，其原理如下。

設想將圖3.13中的有限長梁（梁Ⅰ）用無限長梁（梁Ⅱ）來代替。顯然，如果能設法消除無限長梁Ⅱ在A、B兩截面處的彎矩和剪力，即滿足有限長梁Ⅰ兩端為自由端的邊界條件，則無限長梁Ⅱ的內力與變形情況就完全等同于有限長梁Ⅰ了。將無限長梁Ⅱ緊靠A、B兩截面的外側各施加一對附加荷載FA、MA和FB、MB（稱為梁端邊界條件力，其正方向如圖3.13所示），并且使無限長梁在梁端邊界條件力和已知荷載共同作用下，A、B兩截面的彎矩和剪力為零，那么由此可求出FA、MA和FB、MB。再由疊加法計算在已知荷載和邊界條件力的共同作用下，無限長梁Ⅱ上相應于梁Ⅰ所求截面處的ω、θ、M和V值，即為所求結果。

設外荷載在梁Ⅱ的A、B兩截面上所產生的彎矩和剪力分別為Ma、Va及Mb、Vb，則要求兩個梁端在A、B兩截面產生的彎矩和剪力分別為-Ma、-Va及-Mb、-Vb，由此可利用式（3.20）或式（3.22）列出方程組為

解上述方程組得

式中

式中 sh——雙曲線正弦函數；

El、Fl——按λl值由表3.2查得。

當作用于有限長梁上的外荷載對稱時，Va=-Vb，Ma=Mb，則式(3.25)可簡化為

現將有限長梁的計算步驟歸納如下。

（1）按式（3.20）和式（3.22）以疊加法計算已知荷載在無限長梁Ⅱ上相應于有限長梁Ⅰ兩端的A和B截面引起的彎矩和剪力Ma、Va及Mb、Vb。

（2）按式（3.25）和式（3.26）計算梁端邊界條件力FA、MA和FB、MB。

（3）再按式（3.20）和式（3.22）以疊加法計算在已知荷載和邊界條件力的共同作用下，無限長梁Ⅱ上相應于有限長梁Ⅰ所求截面處的ω、θ、M和V值。

3.3.4 基床系數的確定

根據式(3.1)的定義，基床系數k可以表示為

由式(3.27)可知，基床系數k的取值受多種因素的影響，如基底壓力的大小及分布、土的壓縮性、土層厚度、鄰近荷載影響等。因此，從嚴格意義上講，在進行地基上梁或板的分析之前，基床系數的數值是難以準確確定的。下面僅介紹幾種確定基床系數的方法以供參考。

1.按基礎的預估沉降量確定

對于某個特定的地基和基礎條件，可用式（3.28）估算基床系數,即

式中 p0——基底平均附加壓力；

sm——基礎的平均沉降量。

對于厚度為h的薄壓縮層地基，基底平均沉降sm=σzh/Es≈p0h/Es，代入式（3.28）得

式中 Es——土層的平均壓縮模量。

如果薄壓縮層地基由若干分層組成，則式(3.29)可寫成

式中 hi、Esi——第i層土的厚度和壓縮模量。

2.按載荷試驗成果確定

如果地基壓縮層范圍內的土質均勻，則可利用載荷試驗成果來估算基床系數，即在p-s曲線上取對應于基底平均反力p的剛性載荷板沉降值s來計算載荷板下的基床系數kp=p/s。對黏性土地基，實際基礎下的基床系數按式(3.31)確定，即

式中 bp、b——載荷板和基礎的寬度。

國外常按太沙基建議的方法，采用1英尺×1英尺（305mm×305mm）的方形載荷板進行試驗。對于砂土，考慮到砂土的變形模量隨深度逐漸增大的影響，采用式（3.32）計算，即

式中，基礎寬度的單位為m；基礎和載荷板下的基床系數k和kp的單位均取MN/m3。對黏性土，考慮基礎長寬比m=l/b的影響，用式(3.33)計算,即

【例3.1】 某柱下鋼筋混凝土條形基礎如圖3.14所示，基礎長l=17m，底面寬b=2.5m，抗彎剛度EI=4.3×103MPa·m4，預估平均沉降sm=39.7mm。試計算基礎中心點C處的撓度和彎矩。

解 (1)確定基床系數k和梁的柔度指數λl。

設基底附加壓力p0約等于基底平均凈反力pj，有

按式(3.28)，得基床系數為

柔度指數為

因為π/4<λl<π，所以該梁屬有限長梁。

（2）按式（3.20）和式（3.22）計算無限長梁上相應于基礎梁兩端A、B處的彎矩M和剪力V，計算結果列于表3.3中。

由于存在對稱性，故Ma=Mb=374.3，Va=-Vb=-719.1。

(3)計算梁端邊界條件力FA、MA和FB、MB。

由λl=2.606查表3.2得：Al=-0.02579，Cl=-0.10117，Dl=-0.06348，El=4.04522，Fl=-0.30666。代入式(3.26)得

(4)計算外荷載與梁端邊界條件力同時作用于無限長梁時，基礎中C點的彎矩MC、撓度ωC和基底凈反力pC，計算結果列于表3.4中。

由于具有對稱性，只計算C點左半部荷載的影響，然后將計算結果乘以2，即

MC=2×(-563.1)=-1126.2(kN·m)

ωC=2×19.0=38.0(mm)

pC=kωC=3800×0.038=144.4(kPa)

依照上述方法對其他各點計算后，便可繪制基礎中點C處剪力圖和彎矩圖（略）。

【例3.2】 試推導圖3.15中外伸半無限梁(梁Ⅰ)在集中力F0作用下O點的撓度計算公式。

解 外伸半無限長梁O點的撓度可以按梁Ⅱ所示的無限長梁用疊加法求得，條件是在梁端邊界條件力FA、MA和荷載F0的共同作用下，梁ⅡA點的彎矩和剪力為零。根據這一條件，由式(3.20)和式(3.22)，有

其中

解上述方程組，得

故O點的撓度為

則

上述兩式在推導交叉條形基礎柱荷載分配公式時將被采用。注意，在式（3.34）中，當x=0時（半無限長梁），Zx=4，當x=∞時（無限長梁），Zx=1。