3.2 地基計算模型

在地基、基礎(chǔ)和上部結(jié)構(gòu)的共同作用分析或地基上的梁、板的分析時，都要用到土與基礎(chǔ)接觸界面上的力與位移的關(guān)系，這種關(guān)系可以用連續(xù)的或離散化形式的特征函數(shù)表示，這就是地基計算模型。地基計算模型可以是線性的，也可以是非線性的，最簡單的地基模型是線彈性模型，并且只考慮豎向力和位移的關(guān)系。下面僅介紹幾種用于工程計算的常用線彈性地基模型。

3.2.1 文克勒地基模型

文克勒地基模型是由捷克工程師文克勒（Winkler）在1867年提出的，該模型是最簡單的線彈性模型，其假設(shè)地基上任一點所受到的壓力強(qiáng)度p與該點的豎向位移（沉降）s成正比（圖3.8），即

式中 k——基床系數(shù)，kN/m3，其參考值見表3.1。

文克勒地基模型假設(shè)地基表面某點的沉降與其他點的壓力無關(guān)。該模型實際上是把連續(xù)的地基土體劃分成許多豎直的土柱，把每條土柱看作是一根獨(dú)立的彈簧。如果在彈簧體系上施加荷載，則每根彈簧所受的壓力與該根彈簧的變形成正比(圖3.8)。這種模型的地基反力圖形與基礎(chǔ)底面的豎向位移形狀是相似的。如果基礎(chǔ)的剛度非常大，基礎(chǔ)底面在受荷后保持為平面，則地基反力按直線規(guī)律變化。這與前面常規(guī)設(shè)計中所采用的基底壓力簡化計算方法是完全一致的。按照圖示的彈簧體系，每根彈簧與相鄰彈簧的壓力和變形毫無關(guān)系，這樣由彈簧所代表的土柱，在產(chǎn)生豎向變形的時候與相鄰?fù)林g沒有摩擦阻力，也就是說地基中只有正應(yīng)力而沒有剪應(yīng)力。因此，地基變形只限于基礎(chǔ)底面范圍之內(nèi)。

事實上，土柱之間（即地基中）存在著剪應(yīng)力。正是由于剪應(yīng)力的存在，才使基底壓力在地基中產(chǎn)生應(yīng)力擴(kuò)散，并使基底以外的地表發(fā)生沉降。

盡管文克勒地基模型存在一定的局限性，但由于該模型參數(shù)少、便于應(yīng)用，所以仍是目前最常用的地基模型之一。一般認(rèn)為力學(xué)性質(zhì)與水相近的地基，采用文克勒模型就比較合適。在下述情況下，可以考慮采用文克勒地基模型。

(1)地基主要受力層為軟土。由于軟土的抗剪強(qiáng)度低，因而能夠承受的剪應(yīng)力值很小。

(2)厚度不超過基礎(chǔ)底面寬度之半的薄壓縮層地基。這時地基中產(chǎn)生附加應(yīng)力集中現(xiàn)象，剪應(yīng)力很小。

(3)基底下塑性區(qū)相應(yīng)較大時。

(4)支承在樁上的連續(xù)基礎(chǔ)，可以用彈簧體系來代替群樁。

3.2.2 彈性半空間地基模型

彈性半空間地基模型將地基視為均質(zhì)的線性變形半空間體，采用彈性力學(xué)中彈性半空間體理論公式求解地基中的附加應(yīng)力或位移，此時地基上任意點的沉降與整個基底反力以及鄰近荷載的分布有關(guān)。

根據(jù)布辛奈斯克(Boussinesq)解，在彈性半空間表面上作用一個豎向集中力p時，半空間表面上離豎向集中力作用點距離為r處的地基表面沉降s為

式中 E0——地基土的變形模量,MPa；

μ——地基土的泊松比；

r——地基表面任意點至集中力作用點的距離,m。

對于均布矩形荷載p0作用下矩形面積中心點的沉降，可以通過對式(3.2)進(jìn)行積分求得，即

式中 l——矩形荷載面的長度,m；

b——矩形荷載面的寬度,m。

設(shè)地基表面作用著任意分布的荷載，把基底平面劃分為n個矩形網(wǎng)格，如圖3.9所示，作用于各網(wǎng)格面積（f1，f2，…，fn）上的基底壓力（p1，p2，…，pn）可以近似地認(rèn)為是均布的。如果以沉降系數(shù)δij表示網(wǎng)格i的中點作用于網(wǎng)格j上的均布壓力pj=1/fj（此時面積fj上的總壓力Rj=1，Rj=pjfj稱為集中基底壓力）引起的沉降，則按疊加原理，網(wǎng)格i中點的沉降應(yīng)為所有n個網(wǎng)格上的基底壓力分別引起的沉降總和，即

對于整個基礎(chǔ)，式（3.4）可用矩陣形式表示為

簡寫為

式中 ［δ］——地基柔度矩陣。

為了簡化計算，可以只對δij按作用于j網(wǎng)格上的均布荷載pj=1/fj以式(3.3)計算，即

彈性半空間地基模型具有能夠擴(kuò)散應(yīng)力和變形的優(yōu)點，可以反映鄰近荷載的影響，但它的擴(kuò)散能力往往超過地基的實際情況，所以計算所得的沉降量和地表的沉降范圍常常比實測結(jié)果大，同時該模型沒有考慮地基的成層性、非均質(zhì)性以及土體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的非線性等重要因素的影響。

3.2.3 有限壓縮層地基模型

有限壓縮層地基模型是把計算沉降的分層總和法應(yīng)用于地基上梁和板的分析，地基沉降等于沉降計算深度范圍內(nèi)各計算分層在側(cè)限條件下的壓縮量之和。這種模型能夠較好地反映地基土擴(kuò)散應(yīng)力和應(yīng)變的能力，可以反映鄰近荷載的影響，考慮到土層沿深度和水平方向的變化，但仍無法考慮土的非線性和基底反力的塑性重分布。

有限壓縮層地基模型的表達(dá)式與式(3.5)相同，式中的柔度矩陣［δ］需按分層總和法計算。將基底劃分成n個矩形網(wǎng)格，并將其下面的地基分割成截面與網(wǎng)格相同的棱柱體，其下端到達(dá)硬層頂面或沉降計算深度。各棱柱體按照天然土層界面和計算精度要求分成若干計算層，于是沉降系數(shù)δij的計算公式可以寫成

式中 hti、Esti——第i個棱柱體中第t分層的厚度和壓縮模量；

nc——第i個棱柱體的分層數(shù)；

σtij——第i個棱柱體中第t分層由pj=1/fj引起的豎向附加應(yīng)力的平均值，可用該層中點處的附加應(yīng)力值來代替。