3．5　應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

式（3．1．10）表明，6個(gè)應(yīng)變分量是通過3個(gè)位移分量表示的，因此，6個(gè)應(yīng)變分量之間不是獨(dú)立的，它們之間必然存在著一定的聯(lián)系。我們可以根據(jù)式（3．1．10）由位移分量方便地求出應(yīng)變分量；但是反過來，由應(yīng)變分量求解位移分量時(shí)，式（3．1．14）則是包含6個(gè)方程而只有3個(gè)未知函數(shù)的偏微分方程組，由于方程的個(gè)數(shù)超過未知函數(shù)的個(gè)數(shù)，方程組可能是矛盾的。為使這個(gè)方程組不矛盾，則6個(gè)應(yīng)變分量必須滿足一定的條件，這個(gè)條件就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。從物理意義上理解，若把一個(gè)物體劃分成許多網(wǎng)格，如果對應(yīng)變不加任何約束，也就是不要求應(yīng)變協(xié)調(diào)的話，網(wǎng)格在變形后可能出現(xiàn)“撕裂”或“套疊”的位移不協(xié)調(diào)現(xiàn)象，從而破壞物體的整體連續(xù)性。

為了得到應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，我們從式（3．1．10）中消去位移分量。例如，將εx（ε11）的二階導(dǎo)數(shù)和εy（ε22）的二階導(dǎo)數(shù)相加得

即

類似地可以得到一共6個(gè)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：

滿足以上6個(gè)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，就可以保證得到單值連續(xù)的位移函數(shù)。

應(yīng)當(dāng)指出，彈塑性力學(xué)問題求解時(shí)，如果先正確求出物體各點(diǎn)的位移函數(shù)u、v、w，再根據(jù)式（3．1．10）求出應(yīng)變分量，則應(yīng)變協(xié)調(diào)方程自然滿足；但是如果先求解的是應(yīng)變分量，然后再由應(yīng)變分量求解位移時(shí)，需要同時(shí)考慮應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。