2．4　邊界條件

當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時，內(nèi)部各點需滿足平衡微分方程式（2．3．3），而邊界上應(yīng)滿足邊界條件。邊界條件可以分成3類：①應(yīng)力邊界條件；②位移邊界條件；③混合邊界條件。以下分別介紹它們的表示方法。

2．4．1　應(yīng)力邊界條件

當(dāng)物體的邊界上給定面力時，稱為應(yīng)力邊界條件，該邊界稱為給定面力的邊界，用Sσ表示。利用斜截面上的應(yīng)力公式（2．2．1），應(yīng)力邊界條件可以表示為

式中：分別為給定面力在3個坐標(biāo)軸方向的分力；nx、ny、nz分別為表面外法線方向n的3個方向余弦，nx＝cos（n，x），ny＝cos（n，y），nz＝cos（n，z）。

式（2．4．1）也可簡寫為張量形式。

式中：nj＝cos（n，xj）為斜截面法向矢量的分量。

2．4．2　位移邊界條件

當(dāng)物體的邊界給定位移時，稱為位移邊界條件，該邊界稱為給定位移的邊界，用Su表示。位移邊界條件可以表示為

注意u＝（u，v，w）為矢量，上式可用分量表示為

2．4．3　混合邊界條件

混合邊界條件有兩種情況：第1種情況是整個邊界S上，一部分是已知面力的邊界Sσ，另一部分是已知位移的邊界Su；第2種情況是同一邊界上部分已知面力，部分已知位移，如圖2．4．1所示邊界SAB就是這種情況，其邊界條件為

【例2．4．1】　平面問題的坐標(biāo)系選擇如圖2．4．2所示，且與z軸相關(guān)的應(yīng)力分量都為0，即σz＝0，τxz＝0，τyz＝0，試求自由邊界（外法線為n）上的應(yīng)力邊界條件。

解：（1）圖2．4．2（a）。根據(jù)題設(shè)條件和外法線n的方向余弦nz＝0，式（2．4．1）簡化為

其中外法線的方向余弦nx＝cos（n，x）＝1，ny＝cos（n，y）＝0，＝0，＝0，代入上式得到S邊界上的邊界條件：

（2）圖2．4．2（b）。根據(jù)題設(shè)條件和外法線n的方向余弦nz＝0，式（2．4．1）簡化為

其中外法線的方向余弦nx＝cos（n，x）＝cosθ，ny＝cos（n，y）＝sinθ，＝0，＝0，代入上式得到S邊界上的邊界條件

【例2．4．2】　水壩承受水壓力問題，坐標(biāo)系選擇如圖2．4．3所示，與z軸相關(guān)的切應(yīng)力分量都為0，即τxz＝0，τyz＝0，已知水的密度為ρ，試寫出水壩光滑的OA面的應(yīng)力邊界條件。

解：根據(jù)題設(shè)條件，OA面外法線n的方向余弦nz＝0，式（2．4．1）簡化為

上式中外法線的方向余弦nx＝cos（n，x）＝－1，ny＝cos（n，y）＝0，＝－ρgy，＝0，由此可得OA面的邊界條件為