2．5　主應(yīng)力和主方向

根據(jù)式（2．2．1），可以求得過物體內(nèi)一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力，一般來說既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力。但是在某些特殊的角度，截面上只有正應(yīng)力，而沒有切應(yīng)力，這些截面稱為主平面，主平面的法線方向n稱為主方向，主平面上的正應(yīng)力σn稱為主應(yīng)力。本節(jié)來求解主應(yīng)力和主方向。

如圖2．5．1所示，假設(shè)主方向n的方向矢量為（l1，l2，l3），那么主平面上的應(yīng)力分量為

這3個(gè)分量的合力σn必須在主方向n上，即px、py、pz為σn在x、y、z軸上的投影，即

代入式（2．5．1），得

因此有

上式可以看作以l1、l2、l3為未知量的線性代數(shù)方程組，用張量的下標(biāo)記號(hào)法表示為

式（2．5．4）存在非零解的條件是

展開后得

其中

式（2．5．7）是關(guān)于σn的三次方程，3個(gè)根分別對(duì)應(yīng)于3個(gè)主應(yīng)力σ1、σ2、σ3（σ1、σ2、σ3）。每求出一個(gè)主應(yīng)力，代入式（2．5．4），并補(bǔ)充方程：

可以求出該主應(yīng)力對(duì)應(yīng)的主方向矢量，3個(gè)主應(yīng)力分別對(duì)應(yīng)3個(gè)主方向。還可以進(jìn)一步證

明，一般情況下，這3個(gè)主方向是相互正交的。

由應(yīng)力張量的客觀性，當(dāng)物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)確定后，該點(diǎn)有且只有3個(gè)主應(yīng)力σ1、σ2、σ3，這3個(gè)主應(yīng)力的大小和指向不會(huì)隨著坐標(biāo)系的變換而變化，因此方程式（2．5．7）中的3個(gè)系數(shù)I1、I2、I3也不隨坐標(biāo)系的變換而變化，它們分別是應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量。

已知主應(yīng)力和主平面后，如果以主應(yīng)力σ1、σ2、σ3的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸建立幾何空間，該坐標(biāo)空間稱為主向空間，如圖2．5．2所示。

主向空間中某斜面n的法向方向余弦為（l1，l2，l3），則斜面上x、y、z方向的應(yīng)力分量為

斜面上的正應(yīng)力為

切應(yīng)力為

以上斜截面上正應(yīng)力與切應(yīng)力公式相比非主向空間中的計(jì)算式（2．2．5）、式（2．2．6）有所簡(jiǎn)化。從式（2．5．13）還可推導(dǎo)得到，過一點(diǎn)所有斜截面的正應(yīng)力中，最大值和最小值都是主應(yīng)力。

【例2．5．1】　在平面問題中，一點(diǎn)P的應(yīng)力狀態(tài)為

試求：（1）主應(yīng)力及主方向；（2）最大切應(yīng)力及其所在的面θp。

解：（1）對(duì)于平面問題，直接采用式（2．5．7）求解主應(yīng)力和主方向過于繁瑣。這里我們假設(shè)主平面C與x軸成θ角，如圖2．5．3所示，根據(jù)式（2．2．12），C平面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力為

由該平面上的切應(yīng)力為0，得

由此可以求得

代入式（a），得到主應(yīng)力值：

（2）最大切應(yīng)力可由函數(shù)求極值得到。即

代入式（b）中τθ的表達(dá)式，求導(dǎo)可得

根據(jù)三角函數(shù)公式：

得

可見最大切應(yīng)力所在平面與主平面成45°角。將上式代入式（b），得

如果用式（e）中的主應(yīng)力表示，則為

將上述式（k）推廣到三維情形，即可得到主切應(yīng)力，其中包括最大和最小的切應(yīng)力，它們是

如σ1≥σ2≥σ3，則最大切應(yīng)力為