2．3 平衡微分方程
上節討論了一點的應力狀態，物體內各點的應力狀態是不同的，其空間分布稱為應力場，本節研究應力場的變化規律。為簡單起見，對于如圖2．1．2所示的空間應力微元體，假設與z軸垂直平面上的應力分量為0，即σz＝τzx＝τzy＝0，此時所有的非零應力分量都在Oxy平面上，空間微元體可以退化成平面微元體。先以此平面微元體情況為例，討論物體處于平衡狀態時應力與體力之間的相互關系，由此導出平衡微分方程。
圖2．3．1 平面微元體的平衡
在平面微元體情況下，只需要在Oxy平面上建立受力平衡方程即可。圖2．3．1是從物體內取出的厚度為1，邊長為dx、dy的平面微元體，微元體內受x、y方向的體力分別為Fbx、Fby。作用在兩個負面上的應力分量為σij，它們是坐標的函數，兩個正面的坐標比相應的負面分別增加了dx、dy，應力分量隨之變化，這種變化可用泰勒級數展開來求解，例如ab面上的σx經過距離dx到dc面后變為
其中省略號表示忽略二階以上的小量，同理可以求出微元體各個表面上的應力分量。
各應力分量必須要滿足微元體靜力平衡的要求，由∑Fx＝0得
化簡后得到
同理由∑Fy＝0可得
式（2．3．1）即為平面問題的平衡方程。
對于空間（三維）應力狀態的情況，可從受力物體中取出一微六面體單元，經過與平面微元體類似的推導，得到如下的平衡方程（推導過程可作為練習）：
上式即為三維情況下的平衡方程。
如果用張量分量來表示應力，并引入下標記號法，平衡方程式（2．3．2）可以簡寫為
由圖2．3．1中單元體的力偶平衡方程還可以證明切應力互等定理式（2．2．3），即由∑Mz＝0得
根據上式，利用式（2．3．1），并略去高階小量，得
三維情況下，還可得到切應力互等定理的其他兩式，匯總即為
