3.6　空間軸對稱問題

空間軸對稱問題的定義：在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況及所受的外來因素，都對稱于某一軸（通過這個軸的任一平面都是對稱面），則所有的應力、應變和位移也對稱于這一軸。

在描述軸對稱問題中的應力、應變、位移時，用圓柱坐標ρ、φ、z比用直角坐標x、y、z方便得多。這是因為，如果以彈性體的對稱軸為z軸，則所有的應力分量、應變分量和位移分量都將只是ρ和z的函數，不隨φ而變，空間軸對稱問題的微元體如圖3-4所示。

取z軸鉛直向上，用相距dρ的兩個圓柱面、互成dφ角的兩個鉛直面及相距dz的兩個水平面，從彈性體割取一個微小六面體PABC。沿ρ方向的正應力稱為徑向正應力，用σρ表示；沿φ方向的正應力稱為環向正應力，用σφ表示；沿z方向的正應力稱為軸向正應力用σz表示；作用在圓柱面上、沿z方向作用的切應力用τρz表示，作用在水平面上、沿ρ方向作用的切應力用τzρ表示。根據切應力的互等關系，τρz=τzρ。由于對稱性τρφ=τφρ、τφz=τzφ都不存在。這樣，總共只有四個應力分量：σρ、σφ、σz、τρz=τzρ，它們只是ρ和z的函數。

如果六面體的內圓柱面上的平均正應力是σρ，則外圓柱面上的平均正應力是。由于對稱，σφ在φ方向（環向）沒有增量。如果六面體下面的平均正應力是σz，則上面的平均正應力應當是。同樣，內面及外面的平均切應力分別為τρz和，下面及上面的平均切應力分別為τzρ及。徑向的體力分量用fρ表示；軸向的體力分量，即z方向的體力分量，仍然用fz表示。由于對稱性，環向的體力分量為零。微元體的投影面如圖3-5所示。

將六面體所受的各力投影到六面體中心的徑向軸上，取和分別近似等于和1，得平衡方程為

簡化以后，除以ρdφdρdz，然后略去微量，得

將六面體所受的各力投影到z軸上，得平衡方程為

簡化以后，除以ρdφdρdz，然后略去微量，得

于是，得空間軸對稱問題的平衡微分方程如下：

沿ρ方向的正應變稱為徑向正應變，用ερ表示；沿φ方向的正應變稱為環向正應變，用εφ表示；沿z方向的正應變稱為軸向正應變，用εz表示；ρ方向與z方向之間的切應變用γzρ表示。由于對稱，切應變γρφ及γzφ都等于零。沿ρ方向的位移分量稱為徑向位移，用uρ表示，沿z方向的位移分量稱為軸向位移，用w表示。由于對稱，環向位移uφ=0。

由于徑向位移uρ引起的應變分量是

由于軸向位移w引起的應變分量是

將以上兩組關系式相疊加，即得空間軸對稱問題的幾何方程：

由于圓柱坐標也是和直角坐標一樣的正交坐標，所以物理方程可以直接根據胡克定律得來。在軸對稱問題中，物理方程是

還可以得到用應變分量表示應力分量的物理方程為