3.6　空間軸對(duì)稱問(wèn)題

空間軸對(duì)稱問(wèn)題的定義：在空間問(wèn)題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況及所受的外來(lái)因素，都對(duì)稱于某一軸（通過(guò)這個(gè)軸的任一平面都是對(duì)稱面），則所有的應(yīng)力、應(yīng)變和位移也對(duì)稱于這一軸。

在描述軸對(duì)稱問(wèn)題中的應(yīng)力、應(yīng)變、位移時(shí)，用圓柱坐標(biāo)ρ、φ、z比用直角坐標(biāo)x、y、z方便得多。這是因?yàn)椋绻詮椥泽w的對(duì)稱軸為z軸，則所有的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都將只是ρ和z的函數(shù)，不隨φ而變，空間軸對(duì)稱問(wèn)題的微元體如圖3-4所示。

取z軸鉛直向上，用相距dρ的兩個(gè)圓柱面、互成dφ角的兩個(gè)鉛直面及相距dz的兩個(gè)水平面，從彈性體割取一個(gè)微小六面體PABC。沿ρ方向的正應(yīng)力稱為徑向正應(yīng)力，用σρ表示；沿φ方向的正應(yīng)力稱為環(huán)向正應(yīng)力，用σφ表示；沿z方向的正應(yīng)力稱為軸向正應(yīng)力用σz表示；作用在圓柱面上、沿z方向作用的切應(yīng)力用τρz表示，作用在水平面上、沿ρ方向作用的切應(yīng)力用τzρ表示。根據(jù)切應(yīng)力的互等關(guān)系，τρz=τzρ。由于對(duì)稱性τρφ=τφρ、τφz=τzφ都不存在。這樣，總共只有四個(gè)應(yīng)力分量：σρ、σφ、σz、τρz=τzρ，它們只是ρ和z的函數(shù)。

如果六面體的內(nèi)圓柱面上的平均正應(yīng)力是σρ，則外圓柱面上的平均正應(yīng)力是。由于對(duì)稱，σφ在φ方向（環(huán)向）沒(méi)有增量。如果六面體下面的平均正應(yīng)力是σz，則上面的平均正應(yīng)力應(yīng)當(dāng)是。同樣，內(nèi)面及外面的平均切應(yīng)力分別為τρz和，下面及上面的平均切應(yīng)力分別為τzρ及。徑向的體力分量用fρ表示；軸向的體力分量，即z方向的體力分量，仍然用fz表示。由于對(duì)稱性，環(huán)向的體力分量為零。微元體的投影面如圖3-5所示。

將六面體所受的各力投影到六面體中心的徑向軸上，取和分別近似等于和1，得平衡方程為

簡(jiǎn)化以后，除以ρdφdρdz，然后略去微量，得

將六面體所受的各力投影到z軸上，得平衡方程為

簡(jiǎn)化以后，除以ρdφdρdz，然后略去微量，得

于是，得空間軸對(duì)稱問(wèn)題的平衡微分方程如下：

沿ρ方向的正應(yīng)變稱為徑向正應(yīng)變，用ερ表示；沿φ方向的正應(yīng)變稱為環(huán)向正應(yīng)變，用εφ表示；沿z方向的正應(yīng)變稱為軸向正應(yīng)變，用εz表示；ρ方向與z方向之間的切應(yīng)變用γzρ表示。由于對(duì)稱，切應(yīng)變?chǔ)?span id="3gixvkf" class="sub">ρφ及γzφ都等于零。沿ρ方向的位移分量稱為徑向位移，用uρ表示，沿z方向的位移分量稱為軸向位移，用w表示。由于對(duì)稱，環(huán)向位移uφ=0。

由于徑向位移uρ引起的應(yīng)變分量是

由于軸向位移w引起的應(yīng)變分量是

將以上兩組關(guān)系式相疊加，即得空間軸對(duì)稱問(wèn)題的幾何方程：

由于圓柱坐標(biāo)也是和直角坐標(biāo)一樣的正交坐標(biāo)，所以物理方程可以直接根據(jù)胡克定律得來(lái)。在軸對(duì)稱問(wèn)題中，物理方程是

還可以得到用應(yīng)變分量表示應(yīng)力分量的物理方程為