3.5　空間問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)

已知物體內(nèi)任一點(diǎn)P處的六個(gè)應(yīng)變分量εx、εy、εz、γxy、γxz、γyz，有微小線段PN=dr，其方向余弦為l、m、n。該線段在坐標(biāo)軸上的投影為dx=ldr，dy=mdr，dz=ndr，空間問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)如圖3-3所示。

設(shè)P點(diǎn)的位移分量為u、v、w，則N點(diǎn)的位移分量為

在變形之后，線段PN在坐標(biāo)軸上的投影成為

命線段PN的正應(yīng)變?yōu)棣?span id="7a1uhdn" class="sub">N，根據(jù)正應(yīng)變的定義，該線段在變形之后的長(zhǎng)度為dr+εNdr，由此得出

化簡(jiǎn)，并略去微小量，得出

即

εN=l2εx+m2εy+n2εz+mnγyz+nlγzx+lmγxy　　（3-48）

設(shè)PN在變形之后的方向余弦為l1、m1、n1，得出

化簡(jiǎn)后，得出

同理，可以得出

設(shè)PN′在變形之后的方向余弦為l′1、m′1、n′1，得出

命線段PN及PN′在變形之后的夾角為θ1，則

cosθ1=l1l′1+m1m′1+n1n′1

將l1、l′1、m1、m′1、n1、n′1、代入上述方程，得

cosθ1=（1-εN-εN′）cosθ+2（ll′εx+mm′εy+nn′εz）+（mn′+m′n）yyz+（nl′+ln′）γzx+（lm′+l′m）γxy

求出θ1以后，即可求得PN與PN′之間的夾角的改變?yōu)棣?span id="qmv131l" class="sub">1-θ。