3.4　空間問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)

現(xiàn)在，假定物體在任一點P的六個應(yīng)力分量σx、σy、σz、τyz、τzx、τxy為已知，試求經(jīng)過P點的任一斜面上的應(yīng)力。為此，在P點附近取一個平面ABC，平行于這一斜面，并與經(jīng)過P點而平行于坐標(biāo)面的三個平面形成一個微小的四面體PABC，空間問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)如圖3-2所示。當(dāng)四面體PABC無限縮小而趨于P點時，平面ABC上的應(yīng)力就成為該斜面上的應(yīng)力。

命平面ABC的外法線為N，其方向余弦為

cos（N，x）=l

cos（N，y）=m

cos（N，z）=n

設(shè)三角形ABC的面積為ΔS，則三角形BPC、CPA、APB的面職分別為lΔS、mΔS、nΔS。另外，設(shè)四面體PABC的體積為ΔV。三角形ABC上的全應(yīng)力p在坐標(biāo)軸方向的分量px、py、pz。

根據(jù)四面體的平衡條件∑Fx=0，得

-σxlΔS-τyxmΔS-τzxnΔS+fxΔV+pxΔS=0

同除ΔS，并略去高階項，得

px=lσx+mτyx+nτzx　?。?-37）

同理，可以得出另外兩個方向的平衡方程為

py=lτxy+mσy+nτzy　?。?-38）

pz=lτxz+mτyz+nσz　　（3-39）

可以根據(jù)式（3-37）、式（3-38）、式（3-39），得出空間問題的應(yīng)力邊界條件。如果ABC是物體受面力作用的邊界面，則px、py、pz成為面力分量，得出

設(shè)斜面ABC上的正應(yīng)力為σN，則由投影可得

σN=lpx+mpy+npz

將式（3-37）、式（3-38）、式（3-39）代入上式，得出

σN=l2σx+m2σy+n2σz+2mnτyz+2nlτzx+2lmτxy　　（3-43）

設(shè)斜面ABC上的切應(yīng)力為τN，利用（p）2=（σN）2+（τN）2，得出

利用，得出

3.4.1　主應(yīng)力與應(yīng)力主向

假設(shè)在P點有一個應(yīng)力主面存在。這樣，由于該面上的切應(yīng)力等于零，所以該面上的全應(yīng)力就等于該面上的正應(yīng)力，也就等于主應(yīng)力σ。于是該面上的全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的投影成為

px=lσ

py=mσ

pz=nσ

將式（3-37）、式（3-38）、式（3-39）代入上式，得出

lσx+mτyx+nτzx=lσ

lτxy+mσy+nτzy=mσ

lτxz+mτyz+nσz=nσ

移項后，得

l（σx-σ）+mτyx+nτzx=0　?。?-45）

lτxy+m（σy-σ）+nτzy=0　?。?-46）

lτxz+mτyz+n（σz-σ）=0　?。?-47）

因為l、m、n不全為0，則以上方程組的系數(shù)行列式為0，即

展開為

如何求解σ對應(yīng)的l、m、n，可以利用式（3-45）、式（3-46）、式（3-47）中的任何兩式。比如，式（3-45）和式（3-46）同除l1，得

據(jù)此，可以求出和，而后利用求出l1，進(jìn)一步求出m1和n1。

同理，可以求得與主應(yīng)力σ2（σ3）相應(yīng)的方向余弦l2（l3）、m2（m3）、n2（n3）。

應(yīng)力不變量：在一定的應(yīng)力狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點的主應(yīng)力不會隨坐標(biāo)系的改變而有所改變（盡管應(yīng)力分量隨著坐標(biāo)系改變）。

I1=σ1+σ2+σ3=σx+σy+σz

3.4.2　最大與最小的應(yīng)力

假定物體內(nèi)某一點的三個應(yīng)力主向及與之對應(yīng)的三個主應(yīng)力σ1、σ2、σ3已知，將三個坐標(biāo)軸放在三個應(yīng)力主向，于是有σx=σ1，σy=σ2，σz=σ3和τyz=τzx=τxy=0。

3.4.2.1　最大與最小的正應(yīng)力

根據(jù)式（3-43），σN=l2σ1+m2σ2+n2σ3。利用關(guān)系式l2+m2+n2=1，得出任一斜面上的正應(yīng)力σN=（1-m2-n2）σ1+m2σ2+n2σ3。為了求出σN的極值，命，由此得m=0，n=0，從而有l(wèi)=±1，得出σN的一個極值，等于σ1。

同理，又可得出σN的另外兩個極值，分別等于σ2和σ3。

由此可見，在物體內(nèi)的任意一點，三個主應(yīng)力中最大的一個是該點的最大正應(yīng)力，而三個主應(yīng)力中最小的一個就是該點的最小正應(yīng)力。由此又可見，在三個主應(yīng)力相等的特殊情況下，所有各斜面上的正應(yīng)力都相同，且等于主應(yīng)力，而切應(yīng)力都等于零。

3.4.2.2　最大與最小的切應(yīng)力

在選定的坐標(biāo)系下，利用式（3-37）、式（3-38）、式（3-39），有

px=lσ1

py=mσ2

pz=mσ3

上式代入，并結(jié)合σN=l2σ1+m2σ2+n2σ3，得出

為了求出的極值，命，簡化以后，得

由此得出，最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力為。