2.6　平面問題中一點的應變狀態

若已知彈性體中任一點P處的三個應變分量εx、εy、γxy，求一點的應變狀態，即求：

（1）經過該點平行于xOy面的任何斜向微小線段PN的正應變。

（2）經過該點平行于xOy面的任何兩個斜向微小線段PN與PN′之間的夾角的改變。

平面問題中一點的應變狀態如圖2-8所示，命P點的坐標為（x，y），N點的坐標為（x+dx，y+dy），PN的長度為dx，PN的方向余弦為cos（PN，x）=l，cos（PN，y）=m。

設P點的位移分量為u、v，則N點的位移分量為

如果線段PN的正應變為εN，則線段PN變形后的長度為dr+drεN，則

將 的二次項略去，則得到

并利用l2+m2=1，最終得到線段PN的正應變為

εN=l2εx+m2εy+lmγxy　　（2-24）

接下去，求線段PN和PN′的夾角改變量，即切應變γxy。根據圖2-8，線段P1N1的方向余弦為

利用dx=dr·l，dy=dr·m和 ，并略去二階小量，得到

同理，可以得到PN′成為P1N′1的方向余弦，即

cosθ1=cos（α1-β1）=cosα1cosβ1+sinα1sinβ1=l′1l1+m′1m1，將式（2-25）、式（2-26）、式（2-27）和式（2-28）代入，利用，并略去高階小量，得到

cosθ1=（l′l+m′m）（1+εN-εN′）+2（l′lεx+m′mεx）+（lm′+l′m）γxy

PN與PN′變形后的夾角改變為θ1-θ，其中有

cosθ=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=l′l+m′m

據此，可以得到PN與PN′變形后的夾角改變為θ1-θ。