2.5　平面問題中一點的應力狀態

若已知任意一點P處的應力分量為σx、σy、τxy=τyx，試求出經過該點的，且平行于z軸而傾斜于x軸和y軸的任何斜面上的應力。為此，在P點附近取一個平面AB，它平行于上述斜面，并與經過P點而垂直于x軸和y軸的兩個平面劃出一個微小的三角板或三棱柱PAB，平面問題中一點的應力狀態如圖2-7所示。厚度（z軸方向）取單位長度。當平面AB與P點無限接近時，平面AB上的應力就成為上述斜面上的應力。

用N代表斜面AB的外法線方向，其方向余弦為

cos（N，x）=l

cos（N，y）=m

px和py表示該斜面上的應力p在x軸和y軸上的投影。另外，設斜面AB的面積為dS，則截面PB及PA的長度分別為ldS及mdS。于是由PAB的平衡條件∑Fx=0可得

約去dS，并略去含dS的項，得

px=lσx+mτyx　?。?-13）

同樣，由平衡條件∑Fy=0得出

py=mσy+lτxy　?。?-14）

1.斜面上的正應力和切應力

斜面AB上的正應力為σN，并規定其沿外法線N的正方向為正，反之為負。由投影可得

σN=lpx+mpy　?。?-15）

將式（2-13）和式（2-14）代入式（2-15），得出

σN=l2σx+m2σy+2lmτxy　?。?-16）

命斜面AB上的切應力為τN，并規定：如果把N轉動90°而達到τN的方向是順時針的，則τN為正，反之為負。由投影可得

τN=lpy-mpx　　（2-17）

將式（2-13）和式（2-14）代入式（2-17），得到

τN=lm（σy-σx）+（l2-m2）τxy　　（2-18）

2.主應力和應力主向

如果經過P點的某一斜面上的切應力等于0，則該斜面上的正應力稱為P點的一個主應力，而該斜面稱為P點的一個應力主面，該斜面的法線方向（即主應力的方向）稱為P點的一個應力主向。

在應力主面上，切應力等于0，該面上的全應力p就等于該面上的正應力，也就等于主應力σ。于是該面上的全應力p在坐標軸上的投影成為

px=lσ

py=mσ

將式（2-13）和式（2-14）代入，得到

lσx+mτxy=lσ　?。?-19）

mσy+lτxy=mσ　?。?-20）

接下去，是如何求解σ。上式中包含未知量l、m和σ，只有兩個方程。因此，需要將l和m處理為，如此，兩個方程包含兩個未知量和σ，可以求解。

以上兩個方程，消去，得到

據此，求出兩個主應力為

設σ1與x軸的夾角為α1，則

根據式（2-19）和式（2-20），可以求出σ1與x軸的夾角為α1為

同理，可以求得σ2與x軸的夾角為α2為

3.最大應力和最小應力

如果已經求得任一點的兩個主應力σ1和σ2，以及與之對應的應力主向，將x軸和y軸分別放在σ1和σ2的方向，于是就有

σx=σ1

σy=σ2

τxy=0

根據式（2-16），得出正應力為

σN=l2σ1+m2σ2

利用關系l2+m2=1，得出

σN=l2（σ1-σ2）+σ2

由此，可以得出

（1）σN最大為σ1，此時l2=1；

（2）σN最小為σ2，此時l2=0。

根據式（2-18），得出切應力為

τN=lm（σ2-σ1）

利用關系l2+m2=1，得出

由此，可以得出τN最大和最小為，此時。