2.2　平衡微分方程

首先根據(jù)平衡條件，來(lái)導(dǎo)出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系，即平面問(wèn)題的平衡方程。根據(jù)前一節(jié)的分析，取出一個(gè)微小的平行六面體PACB，平面問(wèn)題的微元體如圖2-5所示。它在x和y方向的尺寸分別dx和dy，z方向取單位長(zhǎng)度。

在彈性力學(xué)中應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)的規(guī)定如下：如果某一個(gè)截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)截面就稱為坐標(biāo)面的正面，該截面上的應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)；相反，如果某一個(gè)截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個(gè)截面就稱為坐標(biāo)面的負(fù)面，該截面上的應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。

應(yīng)力分量σx、σy和τxy（τyx）是位置坐標(biāo)x和y的函數(shù)，因此，作用于左右兩對(duì)面或上下兩對(duì)面的應(yīng)力分量不完全相同，而具有微小的差量。設(shè)作用于左面PB的正應(yīng)力是σx，則作用于右面AC的正應(yīng)力可用泰勒級(jí)數(shù)表示為

略去二階及更高階的微量，簡(jiǎn)化為 。

同樣，設(shè)左面的切應(yīng)力是τxy，則右面的切應(yīng)力是。

設(shè)上面的正應(yīng)力及切應(yīng)力分別為σy及τyx，則下面的正應(yīng)力及切應(yīng)力分別為和。

因?yàn)榱骟w是微小的，所以它在各面上所受的應(yīng)力可以認(rèn)為是均勻分布的，其合力作用在對(duì)應(yīng)面的中心。同理，六面體所受的體力，也可以認(rèn)為是均勻分布的，其合力作用在它的體心。

以x軸為投影軸，列出力的平衡方程∑Fx=0，即

約簡(jiǎn)以后，兩邊除以dxdy，得

同樣，由平衡方程∑Fy=0可得一個(gè)相似的微分方程。

其次，以通過(guò)微元體中心O′并平行于z軸的直線為矩軸，列出力矩平衡方程∑MO′=0，即

將上式的兩邊除以dxdy，并合并相同的項(xiàng)，得到

因?yàn)閐x、dy為微小量，去掉含dx、dy的項(xiàng)，得出

τxy=τyx　　（2-3）

式（2-1）、式（2-2）和式（2-3）即為平面問(wèn)題的平衡微分方程。有一點(diǎn)注意，在建立力矩平衡方程時(shí)，按照小變形假定，用了微元體變形以前的尺寸，而沒(méi)有用變形以后的尺寸。